從集合的意義上說，圓是到定點為定長的點的集合，這種說法沒毛病嗎？

01-23

不考慮非歐幾何的問題。。其實這個問題跟幾何關係不大。
「圓是到定點距離為定長的點組成的圖形」，我認為沒問題。
「圓是到定點距離為定長的點的集合」，我覺得就有問題了

譬如，圓可以分為兩個半圓，一個叫A，一個叫B。如果前述「圓是集合」的說法說的通，那麼這裡也可以把圓定義為{A，B}。此集合包含兩個元素，「到定點距離為定長的點的集合」包含無窮多個元素，因此兩個集合不等價。
我高中沒學好，不知道這個該怎麼解釋？

謝邀。

學集合論的時候如果有困惑，請死摳定義。

「到定點距離為定長的點的集合」，它裡面的元素是「到定點距離為定長的點」，A,B兩個半圓，它們不是點，是點組成的集合（事實上A,B是圓的子集）。所以A,B當然不屬於圓／不是圓裡面的元素。

如果再不清楚，我覺得你可能需要諮詢一下你的語文老師。。

樓上兩位說的很好。

我說句題外話，是不是應該限定一下在一個平面內，不然如果是三維空間，到定點距離為定長的點組成的集合是球面啊。

至少要在拓樸中定義出度量函數d, 不然定義不出圓

另設點a及常實數c, 則稱{y : d(a, y) &< c}是以a為中心且半徑為c的圓

你說的{A, B}是一個集合中有兩個分開的半圓, 不是一個可以被稱為圓的集合, 因為圓的集合包含的是點, 不是半圓, 半圓本身是包含點的集合, 所以{A, B}已經是集合的集合了, 兩個半圓的聯集才有可能是圓

你定義出來的A,B實際上不是元素，而是子集，一個有無窮點的子集。

最後，從集合元素個數不等導出集合不等的謬誤，就是來源上面的誤解。

一個事物/名詞從不同角度，可以誘導出多種定義，有的完全等價，有的雖然對應的東西不同但卻天然地一一對應，有的從本質上就不等價，毫無關聯。

但在一個問題中，我們只採用一種。

比如曲線，在某些場合，我們想像的曲線是純粹的集合，除了個別點之外局部同胚於直線。

在另外一些場合，則是有方向性的，是一個向量值函數在差一個連續/光滑的變換下的等價類。

在第二種情況（嚴格地講，連續和光滑還可以再分開）下，從a到b的曲線和從b到a的曲線應當是兩條曲線。

甚至，有的曲線看起來就是完整的平面。

沒辦法，我們早期沒有造出更好的詞來描述它。某種意義上是一種名詞匱乏或術語濫用。

那麼，你就要根據問題的性質選擇合適的定義，來概括這個問題中起核心作用的東西。

一旦選定，在結束這個問題之前，要把所有的該名詞都自動替換成該定義來思考。

有什麼樣的場合需要把圓分為兩個半圓，一個叫A，一個叫B，然後用{A，B}去定義圓呢？

事實上，這種情況下，這個概念和附帶了一條特定直徑的圓是天然地一一對應的，可以看作是對後者的一種形式化定義。

最後再強調一下，雖然一個事物/名詞可以誘導出不同的定義，不過某些已經成為固定說法的，就不必標新立異了。

就我個人而言，考慮到有圓的周長和面積這種說法，我認為，把圓定義成片而不是邊更符合古人的抽象，也就是把等於定長改為小於等於定長。

照你的邏輯，整數是{0，±1，±2，±3，...}，有無窮多個元素。同時整數也是{自然數，0，自然數的負數}，有三個元素。

這兩個集合也不等價？

你認為沒問題的說法恰恰有問題，因為你還得定義「圖形」。而你認為有問題的說法反而沒問題，因為它十分清晰。說白了，題主你需要分清楚日常用語和數學語言的區別。至於後面什麼兩個集合不等價之類的，我覺得你需要好好學一學基本的集合知識。

比如實數也是無窮的集合，但也可以表示為{A,B},A={小於1的數}，B={≥1的數}，應該算包含等價還是。。。。專業描述不出來-_-||大概是這樣了

圓是平面內到定點的長度為定長的所有點的集合。

圓應該是A∪B，不是{A，B}

我認為你從原定義出發得到的是點集，而你從｛A，B｝定義得到的是集合集，這其中包含了兩個點集A與B