為什麼很多數學證明總要研發一個新的概念或者理論來證明原命題，在原命題的體系內無法證明嗎？

01-23

據我所知費爾馬大定理是搞出一個新的體系來證明的，而哥德爾定理也是研發出一個新的符號體系才證明原命題的。

謝邀。

研發了新理論，問題並沒有改變。不是說長江里不會游泳，換成死海就會游泳了，這是耍賴。

但是新理論中的發現，可以幫助解決問題。

新的理論可以提供一套新的語言：寫程序用打孔機還是用 C＋＋。

比如，麥克斯韋方程組有四個式子，也可以寫成一個式子 http://en.wikipedia.org/wiki/Maxwell%27s_equations#Alternative_formulations_of_Maxwell.27s_equations

經典力學也可以寫成一個式子 http://en.wikipedia.org/wiki/Least_action_principle#General_statement

數學裡，新語言經常使不可能變為可能。

比如沒有微積分的情況下，我們可以問物體運動的路程，卻無法精確計算。

只有在使用微積分的語言，嚴謹地描述了運動之後，才能解決這個問題。

新的理論可能提供了新的思路：面對一面牆，是硬撞，還是繞行。

比如複分析中的留數定理，很難的實數積分，在複數域就會非常容易。http://en.wikipedia.org/wiki/Methods_of_contour_integration

在複數中轉了一圈後，最後要得到的是實數問題的答案。

新的理論可能是一套新的工具：在牆上挖洞是用指甲還是用衝擊鑽。

比如上個月聽了大神 Bjorner 的一堂課，他將素數作為空間中的點，利用整除關係將數系構造成一個拓撲結構（CW復形 http://en.wikipedia.org/wiki/CW_complex），然後用他熟悉的拓撲方法，證明數論中的定理。他的最終目標是哥德巴赫猜想。

他用的是拓撲的方法，但是解決的仍然是數論問題。數論問題可以轉換為拓撲問題，但最終是要得到數論的答案。

新的理論也可能是對之前成果的整合，然後在領域之間起郵局的作用。

大多數新理論的提出並不以證明特定定理為目的，直接的目的更多是整合和拓展數學體系。
比如擬陣理論 http://en.wikipedia.org/wiki/Matroid 可能是鮮為人知的一個數學體系。這一理論抽象了圖論、代數、幾何等很多領域中「獨立」的概念，於是各領域中原本不相關的問題就變成了同一問題，互通有無後都得到了發展。同時擬陣本身也發展成了一個漂亮的理論體系。

新理論沒有憑空創造新的世界，只是對原有數學體系的拓展。

這個問題超出我的能力了，超能力解答呈上：

1、新的概念、符號，有時就是新的工具，且在目標問題上比已有的工具更好使。不用新的概念可能也能解決問題，只不過會很麻煩，估計差不多相當於你每次要用時都臨時、重新、傻傻地、費墨地組裝一次新的工具。

2、新的概念、符號，有時是新發現的不變數，不變數就代表規律。所以新的概念有時是階段性成果的產物。常煮飯的，就知道 1.2 的水米比例是不變數；會吃飯的，肚子差不多飽就收工了；懂大解的，在哪兒都都先脫褲子。心裡有譜好辦事。

3、新的概念、符號，有時是對現有數學對象的新的抽象，代表更高層次的視角。這也許是必需的，也許不是，而只是讓你更犀利罷了，當然你也可以認為「犀利是必需的，不犀利毋寧死」。而你一旦犀利起來，很可能問題就不是一個一個地解決，而是一類一類地消滅。

4、概念、符號，本身是用別的概念來定義的。所以新的概念、符號不一定是洋娃娃，也可以是本地種，只不過是重組、整合了一下。也可以說是就地取材，打造了一身前所未有的革命性裝備——想像各種「生活小竅門」的畫面。

個人認為，新理論和舊理論（前提是「正確」的舊理論），多是一脈相承的。

舉例而言，同餘理論建立在整除的基礎之上，所有的同餘都可以用整除來代替。

但是大量的問題，用同餘更方便，並且能提供新的視角，比如同餘方程。

有句話說，用一次是個技巧，多用幾次就是例行公事。

新理論就是把舊理論中的特殊技巧選取出來，找出一般性，提純成新理論。

很多時候，你完全可以拒絕新的理論，採用舊的理論去敘述，只不過看起來體系更亂而已。

比如，常微分方程的初值問題解的存在唯一定理，你用古典的picard逼近，和你用完備度量空間的壓縮映射不動點定理，本質上是一樣的，但後者更一般化。

再如，如果你願意，你總可以不適用複數，用二元實數代替，代價是解析函數的理論更加瑣碎，複數提供了簡化的方便，為何不用呢？

新理論有時是對錯誤的舊理論的否定，但在近現代，通常是對舊理論的發展，是從以前沒有系統考慮過的思維方式中挖掘出一般性。為什麼有新概念，因為新概念有用。舊理論的自然發展，必然催生出新理論。

正因為在原有的體系中難以直觀體現，所以許多定理和猜想才成為著名的難題。並不是說非要建立一個新的體系去證明和研究，只是代表著不要拘泥於現有的體系之內。

數學與一些科學不同的地方就在於，只要某個體系在其內部是自洽的，那麼他就是對的。數學的體系並不需要實踐去驗證。也就是說，任何一個體系只是認識和研究數學的工具和方法，沒有「原體系」和「新體系」之分，只有「常用」和「不常用」的分別。就好比級數展開可以展開成泰勒級數亦可以展開成傅里葉級數，僅僅看哪種更方便更直觀而已。

我想表達的就是，並不是「非要」，而是「能抓住老鼠就是好貓」。

有些問題雖然問題本身完全是A領域的，但是他解決卻必須牽扯到A+領域

比如把同一個平面上的兩個全等三角形相互變換，如果兩個三角形的頂點順序不同，比如一個順時針一個逆時針，那麼在平面內是無法完成的。

但是如果在三維空間中解決就很簡單，只要在三維空間里翻個個就可以

這就是操作空間的擴展，使得原來很難的問題變得很簡單

再比如，求解三次方程（還是四次方程，忘了-_-!）時，雖然三個解都是實數，但是他們的求根公式，在運算時卻必須進入虛數域。這曾經是讓數學不得不接受虛數的理由

原因在於「閉合性」！

首先得說，題主舉的費馬大定理的例子不是很恰當。

其次，「很多數學證明」這個斷言我覺得不恰當。個人感覺，需要新理論的證明比不需要新理論的證明要少得多。

前面大家的回復都將重點放在了「新理論」方面。我這裡提兩個個例子，它涉及的是提問的後半部分。

開始，Hadamard和 Vallée-Poussin 藉助複分析給出了素數定理的證明。但有些人提出了疑問：難道這個限定在實數範圍內的命題真得藉助複數的知識才能證明嗎？後來，Selberg和Erdos給出了素數定理的一個初等證明，將論證限定在了實數範圍內。
上世紀七十年代，Lovasz利用代數拓撲的工具證明了Kneser猜想。這個證明同時開創了一個叫拓撲組合學的分支。本世紀初，Greene給出了一個出人意料的簡單的證明，據說作者當時還是一名本科生。（這方面完全不熟。這個例子是我前幾天無意中在網上看到的，敬請組合學人士指正。）

為什麼一些證明需要新理論呢？因為這個證明「夠簡單」，以至於提出證明的人只能想出它了。