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兩道看似簡單的代數題，知乎大神有什麼看法？

01-23

1.R為含有單位元的交換環。A，B為有限生成的R的理想。證明或否定：A交B是有限生成的理想。

2.R是含有單位元的交換環。證明：R是Noether環當且僅當R的每個素理想都有限生成。

第一題是否。

反例如下：取一個交換環

R:={finmathbb{C}[x,y]|,, f=a_{00}+sum_{i,jgeq 1}a_{ij}x^iy^j}

然後考慮理想 xyR 和 x^2yR。 他們的交是I={sum_{igeq 3,jgeq 2}a_{i,j}x^iy^j}這個理想不是有限生成的。

證明很簡單。

對任何fin I記 f=sum_{i,j}a_{i,j}^fx^iy^j, 且 S_f:={(i,2)|,, a_{i,j}^f eq 0}.

假設f_1,cdots,f_n生成I. 那麼對任何 k=1,...,n 記 記。 則S_{f_k} 是一個有限集。

對任何 gin f_kR, 有S_{g}subseteq S_{f_k}. 所以對任何 gin sum_{k=1}^nf_kR, 有S_gin cup_{k=1}^n S_{f_k}. 後者是一個有限集。 所以存在(i,2),igeq3 不屬於它。 那麼 x^iy^2 屬於I，但是不能被f_1,cdots,f_n 生成。 矛盾。

第一題參見這裡

第二題是AM第七章練習1的推論：設非諾特環A中，非有限生成的理想組成的集合為Sigma，則Sigma有極大元，且極大元是素理想。（從而當A中沒有非有限生成的素理想時，A必然諾特）

用Zorn引理不難證明Sigma有極大元，設mathfrak a是極大元，並設x,y ar{in} mathfrak a，但xyin mathfrak a。此時mathfrak b=mathfrak a+(x)必然是有限生成的，因此設mathfrak b=mathfrak a_0+(x)，其中mathfrak a_0是有限生成理想；然後讓mathfrak b_0=mathfrak a_0+x(mathfrak a:x)，顯然它是有限生成理想，最後再證明mathfrak b_0=mathfrak a導出矛盾就行了。

第二題是上學期交換代數1的一道習題，肥腸nontrivial orz
(請出當時教會我正確答案的 @zero ）

第一題...目前進展是，假設A+B是projective module的話結論正確。。一般情況還沒思路

看似？看似一點都不簡單好么……（捂臉）

群論問題 。。。

人類所有一切都可以反駁與堅守，因為比較所以區分，而區分的目的又是為了認識。

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