Z^n的指數為p的子群數？

01-23

求證： $Z^n$ 中指數為p的子群數為 $(p^n-1)/(p-1)$ 其中p是素數 n是正整數

首先 $mathbb{Z}^n$ 中指數為 $p$ 的子群顯然包含 $pmathbb{Z}^n$ , 所以問題相當於求 $mathbb{Z}^n/pmathbb{Z}^n$ 的指數為 $p$ 的子群數. 把 $mathbb{Z}^n/pmathbb{Z}^n$ 看成 $mathbb{Z}/pmathbb{Z}$ -線性空間, 記作 $V$ , 這就相當於求它的余維為1的子空間數. 注意對 $V$ 的任一個余維為1的子空間 $W$ , $W^0={fin V^*mid f(W)=0}$ 是 $V^*$ 的一維子空間; 反過來如果 $W$ 是 $V^*$ 的一個一維子空間, $W$ 是 $V$ 的余維為1的子空間; 容易驗證這建立了 $V$ 的余維為1的子空間的集合與 $V^*$ 的一維子空間的集合(記作 $mathbb{P}(V^*)$ )之間的一一對應. 顯然 $xmapsto(x):V^*setminus0 omathbb{P}(V^*)$ 是一個(p-1)到1的映射, 所以 $#mathbb{P}(V^*)=frac{#(V^*setminus0)}{p-1}=frac{p^n-1}{p-1}$ .