時間序列中後移運算元的運演算法則是怎樣的？

01-23

在學習時間序列中的後移運算元時，其運演算法則令我很疑惑。
舉例而言。對於 $B Y_{t}=Y_{t-1}$
結合百度百科的解釋，我的理解是：後移運算元是一種運演算法則，與積分中的 $int_{a}^{b}$ ，求和 $Sigma$ 等符號是一樣的。也可以理解為遞推關係。或者根本來說就是一種函數的函數、一種映射的映射。
於是乎我是這麼理解後移運算元的：
$B^{i} Y_{t}=Y_{t-i} Leftrightarrow Y_{t-i}=f_{i}(Y_{t})$

同理：
$B^{i}Z_{t}=Z_{t-i} Leftrightarrow Z_{t-i}=g_{i}(Z_{t})$
其中： $f()< e >g()$ 因為序列 $Y_{t}$ 和序列 $Z_{t}$ 的遞推關係是不一樣的（除非巧合）。
那麼對於ARMA過程： $phi(B) ilde{z} _{t}= heta (B)a_{t}$
便令人費解——等式兩邊都是用同一字母 $B$ ，但表達的卻是兩種不同的遞推關係。如何解釋這個矛盾呢？

謝邀。爪機碼字比較麻煩，簡短的說就是滯後運算元是定義在同一個函數空間的泛函，所以空間里的所有點都可以用，不存在你說的問題。舉個栗子，一個三維歐式空間有一個映射，可以把（x,y,z）映射到（0,x,y）這個點上，那麼（1,2,3）被映射到了（0,1,2），（4,5,6）也可以映射到（0,4,5）。如果你考慮一個無窮維的歐式空間，空間裡面的元素變成一個個隨機變數（函數），那麼滯後運算元跟這個映射道理是一樣的。

首先題主問題中的 $f=g$ 。 $B$ 是一個線性運算元，也就是是作用在函數上的線性函數。

你有這種疑惑，是因為你沒有把隨機過程 $Y_t$ 看成函數。

實際上 $Y_t$ 是一個被用時間t 「標記」的函數，完整寫下來是，

$Y(t,omega): mathbb{Z} imes Omega ightarrow mathbb{R}$

$mathbb{Z}$ 是所有整數（t 的集合）， $omega in Omega$ 代表全體可能的集合。在實際中人們就把 $Y(t,omega)$ 縮寫成 $Y_t$ 了。

這裡的 $omega$ 其實就是上帝扔下的色子，這是一個維度極高，而且根本不可能觀測到的「隱變數」，所以「隨機變數」實際上是一個把隱變數映射到實數的函數。而隨機過程 $Y_t$ 是一個把時間+隱變數的組合，映射到實數的函數。當 $omega$ 被固定住， $Y_t$ 的全體軌跡也就被確定下來了。所以我們觀測到實際的 $Y_t$ （一個隨機的結果，或者叫realization），其實是上帝確定下隱變數後， $Y(cdot , cdot)$ 作用在這個隱變數和所有整數（時間點）組合上的結果。

所以，實際上 $B^i Y(t,omega)=Y(t-i,omega) = Y_{t-i} (omega) = Y_{t-i}$ (這裡我用了不同的寫法，其實都是一個意思。）

最後很容易說明 $B^i$ 是一個線性函數。

沿用你的表達方式

我覺得f_{i}=g_{i}（打不出公式，直接打latex的表達式，希望你能看懂）

你說的沒錯，後移運算元可以理解成一個泛函。他的作用就是對於任何一個時間序列{Y_{t}}，將Y_{t}映到Y_{t-1}

至於是Y還是X還是Z，他們遞推是否相同無關緊要。因為那是在XYZ這個水平上的，f的層次比他們高。把{Y_{t}}作為一個整體，不需要考慮Y_{t}和Y_{t-1}的關係。如果說X是一次抽象的話，後移運算元是抽象的抽象。

其實這應該是泛函分析的概念，時間序列分析不會糾結於這些東西。不知你有沒有學過泛函分析。

比如說一個L1空間的線性泛函F，他的作用是將任意L1空間的函數f映射到其在0到正無窮的積分。而無所謂是f還是g，f和g是否相同。

對後移運算元的理解上升到泛函分析的高度是可以的，但沒有必要，這樣只能把水攪得更渾。有一種簡單的解釋。時間序列x_{t}是某個「譜分布函數的傅里葉係數」，這能很好的解釋為什麼x_{t}的t取值於負無窮到正無窮。所謂後移或者前移就是傅里葉係數的前面一項還是後面一項。舉例來說，x_{t}是第t個傅里葉係數，後移一項就變成第t+1個傅里葉係數，也就是x_{t+1}了。後移運算元可以理解為對係數空間的後移運算元。它所表達的遞推關係都是相同的：你對任何一個分布函數都可以求傅里葉係數，都可以在係數空間里做後移。理論是統一的。

隨機過程里對這個有個非常清晰的解釋：定義域是流域 $F_t$ 的倒向映射函數

首先，這個運算元意思是函數的函數。啥意思呢，就是套進這個B里的可以是個函數。把一個函數套進另一個函數里出了不一樣的表達式很正常。

然後，你需要理解一隨機過程里一個叫流域的東西（ $F_t$ ）。這個東西代表了一個時刻已知的所有信息量。啥意思呢，舉個分布的例子：

我知道了今天的股票價格St。那麼在假設一個合理分布後，我首先就觀測到了今天的分布，然後因為我知道昨天的價格，在相同的假設下我又知道了昨天的確定值和他對應的分布，以此類推。我獲得的東西是一個在我合理假設下，過去所有價格和他們對應的分布，而這個分布構成的集合一般在實數上是封閉的（我們叫博雷爾集）。我們管這樣的t時刻的信息集，叫做流域F_t

需要注意的是，題主不要認為在信息下我們光知道了Y_t和他之前的值。因為這裡的過程假設是統一固定的，比如arma的： $Y_t =c+ varepsilon _t + a Y_{t-1} +bvarepsilon_ {t-1}$ (這裡舉一階)。雖然困難，但是在給定的模型和殘差假設下，上面整個東西，包括每一時刻的樣本分布我們認為都是「知道的」（技術手段叫calibration）。意思是，我們能找到一組最合適的參數和分布去擬合這個整個信息集。

用圖片來說就是這個意思：

或者這個意思：

一旦我知道了最後的狀態，那麼整個時間段在某假設下的信息我都知道了。

最後解釋這個滯後運算元，他的意思是：尋找一個一般性的，能把t時刻信息集F_t對他前一個時刻F_t-1 對應上的一種的映射。因為是從後往前映射，所以就叫「滯後」。這個東西在隨機過程里也有個對應的東西叫倒向隨機微分方程，這個不是我的專長就不多展開了

簡言之——

由於滯後運算元 $B$ 的特點，可以將其看成一個普通的數，當其對 $x_t$ 操作時，可以看成一種普通的數乘運算，也就是 $B$ 乘以 $x_t$ ，這種理解既合理又方便，因此，題主所說的 $phi(B)$ 、 $heta(B)$ ，應當看成關於 $B$ 的多項式。

具體而言——

首先，需要明白，我們對時間序列的記號，大多都是簡記——我們將對整個序列的操作，簡記為對某一期的操作。

例如，對時間序列

${x_t}_{t=-infty}^{infty}={dots,x_{-1},x_{0},x_{1},x_{2},dots, x_{t},x_{t+1},x_{t+2},dots}$

的每一項乘以 $eta$ 獲得新的時間序列

${y_t}_{t=-infty}^{infty}={dots,eta x_{-1},eta x_{0},eta x_{1},eta x_{2},dots, eta x_{t},eta x_{t+1},eta x_{t+2},dots}$ ，

我們簡記為對特定的 $t$ 期的操作：

$y_t=eta x_t$ 。

同理， $z_t=Bx_t$ 的含義是，將原有時間序列的每一期滯後一期以獲得新的時間序列。

其次，讓我們看看滯後運算元 $B$ （或用 $L$ 表示）有什麼特點：

自身的連續運算、和數乘的混合運算，可以任意結合、交換
例如， $eta x_{t-2} =eta (Bx_{t-1}) = B(eta x_{t-1}) = eta (B^2 x_t ) = B^2 (eta x_t)$ 。
也就是說，對一個時間序列，先數乘再滯後，先滯後再數乘，結果是一樣的。
關於加法，可以分配
例如， $B (x_t + y_t) = Bx_t + By_t$ 。
也就是說，兩個時間序列的和的滯後，等於分別滯後再求和。

所以，滯後運算元 $B$ 滿足結合律、交換律、分配律，發現了什麼沒有？滯後運算元完全可以當成一個普通的數，像數乘一樣參與運算。

在這種情況下，我們可以將提取出來的滯後運算元，看成一個多項式。例如，

$x_t+x_{t-1}+x_{t-2}=x_t+Bx_t+B^2x_t=(1+B+B^2)x_t=f(B)x_t$ 。

所以，回答題主的問題：你看到的 $phi(B)$ 、 $heta(B)$ ，其實應當看成是關於 $B$ 的多項式，而將 $B$ 看成一個普通的數，這個數按照數乘的規則參與中間步驟的運算。