估計量與估計值之間的區別？

01-23

在計量經濟學中，請解釋估計量與估計值之間的區別，各舉一例

別讓名稱騙了你。這兩個東西天差地別。

估計量是一種隨機變數，定義嘛滿大街都是這裡跳過。

估計值是某個估計量的一個實現。

例子如下，

比如給定來自總體的一個樣本對其均值估計，

構造一個估計量，隨便構造，比如常見的樣本均值，比如中位數，比如隨便拿一個樣本做估計量都可以，比如，極端一點，隨便一個常數c也可以。

共性就是所有這些估計量都是隨機變數，隨機性繼承自樣本的隨機抽取。最後那個常數估計量可以看做是坍縮（degenerated）了的隨機變數，因為遠離討論的日常語境你可以無視這個。

估計值，在這個例子中就是上面那些估計量（挑一個）的實現，它是一個常數。

-------------------下面這段要是覺得繞的話，真不好意思，煩請跳過--------------

進一步，還是上面那個例子假如我選了中位數做估計量。

在一周目的世界裡抽樣，得到樣本_一周目。

則，總體均值的估計=樣本中位數=常數_一周目

在二周目的世界裡抽樣，得到樣本_二周目。

則，總體均值的估計=樣本中位數=常數_二周目

在三周目的世界裡抽樣，得到樣本_三周目。

則，總體均值的估計=樣本中位數=常數_三周目

在四周目的世界裡.......

在每一個世界的輪迴里，對總體均值的估計量都是樣本中位數。

在每一個世界的輪迴里，這些估計量的值（估計值）都可能是不同的。

從此王子和公主幸福的生活在一起，the end.

很簡單，一個是公式，一個是數。比如平均值x拔^，就是估計量。把樣本值代進去，算出一個值，就是估計值。

參數的點估計問題就是尋找合適的估計量的問題。對不同的樣本，同一估計量的估計值是不同的。同一個樣本對總體未知參數的估計，僅僅是所有可能估計值中的一個點，故稱為點估計。例如：要測整個大一年級的新生平均身高，那麼從整個大一年級隨機抽取一個班作為抽樣樣本，那麼樣本的均值我們可以看做是一個估計量，顯然他是一個隨機變數，但是對於特定的某次抽取，我們測出的樣本平均身高就是一個估計值。個人淺見

估計量（estimator），就是頭上有帽子的那個東西，一個隨機變量。

估計值（estimate），就是把數據代入到估計量以後得到的一個數值。

量是變數

值是數值

先看結果。不能畫圖，可以想像。在坐標系x-y內，x軸上真實值b是不動的，一個以b為期望的分布b hat（估計量），但b hat 的形態是隨著計算樣本自由度（樣本量n、變數數k）而變化的（但大樣本OLS弱假定下始終滿足漸進正態性），因為b hat的方差估計量與n,k有關，因此n，k確定情況下，b hat的分布形態是不變的， $b_{n}^{j}$ 想像成b hat分布（n，k確定）下的用第j組樣本量計算的某個取值。

舉例：樣本均值 $ar{x}$ 是總體期望值EX=u的估計量，利用第j個樣本集計算出樣本均值的具體值 $ar{x}=a^{j}$ ，這個 $a^{j}$ 就是u的估計值。這個例子與計量下的估計量 $eta$ hat 唯一區別在於：統計量的表現形式不一樣， $ar{x}$ = $frac{sum_{i=1}^{n}{x_{i}}}{n}$ ，而後者比如一元OLS下的b hat= $frac{Cov(x,y)}{Var(x)}$ 。

再看從計量角度估計量、估計值如何來的，以最簡單的一元帶截距回歸方程為例，滿足大樣本OLS弱假定

計量角度來看，一個存在但不可能知曉的真實值b，滿足理論模型F（X，Y，b）=0；
從理論到現實，存在誤差等不可控因素，存在總體回歸方程f（X，Y，b，e）=0，b稱為總體參數，而總體（X，Y）不知，真實值b也永遠不能確定，e是總體誤差，為隨機變數，滿足條件均值和同方差 $sigma^{2}$ 假定
總體無法獲取，只能得到n個樣本量的一個樣本集。於是可以建立樣本回歸方程f（x，y，b hat，u）=0，其中b hat稱為b的估計量。估計量可以用多種計算方法，運用OLS方法計算就是ols估計量，運用MLE方法計算就是MLE估計量，此外還有分位數回歸、中位數回歸、FGLS等等，而從表現形式看，估計量是樣本（x，y）的表達式g= $frac{Cov(x,y)}{Var(x)}$ 。u是殘差，是e的抽樣值，殘差方差為 $u^{2}$
將一個樣本集代入估計量的表達式g（x，y）得到b hat的一個具體值，即b基於此樣本下的一個估計值 ${b^{j}}$ （第j個樣本集計算的b估計值）

其他相關延伸

用什麼標準去衡量一個b hat的好壞呢？主要兩個標準，一是b hat的期望值必須與真實值相等，也就是常說的無偏性；另一個就是b hat離真實值b的分散程度最小，方差最小，也就是有效性。大樣本下可以這兩個標準放鬆為漸進性，即依概率收斂為真實值和漸進方差最小。
前人已經幫我們證明了，滿足OLS假設條件下，b的估計量b hat是滿足BLUE性質的。因此，OLS假設的存在只是保證b hat其中的某一形式（比如OLS估計量g）作為計算真實值b的估計量的合理性，以及確定b hat的分布，包括均值E（b hat）=b，方差 $frac{sigma^{2}}{Var(x)}$ （一元回歸， $sigma^{2}$ 是總體誤差方差）和分布形式為正態（誤差同方差的正態分布下）或者漸進正態（大樣本同方差下），為假設推斷、顯著性檢驗做準備，與其具體代入的樣本值並無任何關係。
但我們無法知道具體總體誤差 $sigma^{2}$ ，u是e的抽樣，只能用殘差 $u^{2}$ 去估計，OLS下 $frac{u^{2}}{n-2}$ (一元下）是 $sigma^{2}$ 的無偏估計，於是b hat的方差估計量（類似樣本方差 $s^{2}$ 對總體方差 $sigma^{2}$ 的估計）為 $frac{u^{2}}{(n-2)Var(x)}$ 。再依據b hat的（漸進）正態分布性質，構建t統計量，對 ${b^{j}}$ 是否顯著異於b進行檢驗。