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苯環上有四個取代基時有多少同分異構體？

01-23

如果是五個呢？甚至六個呢？
看了回答，發現題目不夠詳細，如果不考慮取代基的多種結構的情況下，即每種取代基只有一種結構，那麼在苯環上有四個，五個，或六個不同取代基時共有多少種同分異構體？

謝走神邀，這是一個 $D_6$ ( $D_6in SO_3$ ）旋轉群的六邊形五染色問題。

設氫為1，取代基為 $a,b,c,d$ ,有輪廓生成級數 $1+a+b+c+d$ ，代入 $D_{6}$ 群的對稱指標

$Z[D_{6}]=s_1^6+2s_6+2s_3^2+3s_1^2s_2^2+4s_2^3$

代入輪廓生成級數

$Z[D_{6}]=frac 1{12}[(1+a+b+c+d)^6+2(1+a^6+b^6+c^6+d^6)+2(1+a^3+b^3+c^3+d^3)^2$

$+3(1+a+b+c+d)^2(1+a^2+b^2+c^2+d^2)^2+4(1+a^2+b^2+c^2+d^2)^3]$

展開得到 $abcd$ 項的係數即為答案，可以看出只有第一項有 $abcd$ ，因此有 $frac {A_6^4} {12}=30( ext{種})$

這種方法可以推廣到一般情形，對於苯環上的 $n(n>2)$ 取代情況(第四項存在兩基團取代的情形, $n=1,2$ 的情況稍微麻煩，不過可以直接看出答案)，共有 $frac {A_6^n} {12}$ 種同分異構體；對於m元芳香環系（雖然 $n$ 元輪烯並非 $D_{nh}$ 群，但仍可如此處理），共有 $frac{A_m^n}{2m}$ 種同分異構體。

例如三取代環丙烯正離子，共有一種同分異構體。

另外從伯恩賽德引理出發可以直接用組合數得到答案，不過我認為母函數更容易看出演算法的漏洞。

以上內容摘自我的講義

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更新：（以下內容摘自《化學教學》2016年9期）的一部分：

同分異構有碳鏈骨架異構，官能團位置異構，官能團異構

只說苯環上取代基位置異構，如果四個取代基都不同，4*3*2*1*3

但如果取代基上有碳鏈結構，還應該考慮官能團異構，像醇與酚。還有碳鏈異構

難道不是A(4，4)×3么，4個取代基排列，然後剩餘兩個氫有鄰間對三種情況，五個個六個取代基都是A(6，6)啊，六個取代基六選六排列，五取代的氫也可以看成不同的取代基

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