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關於最速降線問題？

01-23

在網上偶然發現一張圖
為什麼同時下降的三個球體到達終點的時間不同，反而...
直線的那位是最慢的！！！
WHY？？？『黑人問號臉』
還希望知乎的各位大神指教(??????)?送花給你

不妨假設軌道光滑，高度為 $h$ ，寬度為 $d$ ，起始點為原點 $left(0,0 ight)$ ，向下為 $y$ 軸正方向，向右為 $x$ 軸正方向

對於直線，總時間為 $t_{ m Line}=sqrt{frac{2s}{a}}=sqrt{frac{2left(h^2+d^2 ight)}{gh}}$

對於最速降線（Brachistochrone curve）

由能量守恆，速率 $v=frac{{ m d}s}{{ m d}t}=sqrt{2gy}$

即 ${ m d}s=v{ m d}t=sqrt{2gy}{ m d}t$

而由曲線的弧長公式， ${ m d}s=sqrt{1+y$ ，其中 $y$

知 $sqrt{2gy}{ m d}t=sqrt{1+y$

故 ${ m d}t=sqrt{frac{1+y$

因此 $t=int_0^dsqrt{frac{1+y$

最速降線指的是使得 $t$ 最小（變分為0）的曲線，因此 $delta t=0$

積分里的函數滿足Euler-Lagrange方程： $frac{ m d}{{ m d}x}frac{partial f}{partial y$

即 $y$

由這個ODE以及邊界條件 $yleft(0 ight)=0$ ， $yleft(d ight)=h$ ，容易解出（其實並不算很容易233）

$x=frac{h}{2}left(u-sin u ight)$ ， $y=frac{h}{2}left(1-cos u ight)$ ，其中 $u$ 為參數

最速降線的方程解出來了，再看看時間 $t$

唔，我用Mathematica試著算了一下，貌似 $t$ 的解析式很複雜= =

只能在給定 $h$ 和 $d$ 的情況下求數值解咯……

直線之所以慢，是因為它所對應的軌跡得到的時間的變分不為0啦

變分是怎麼回事呢？其實跟微分很類似，一個泛函（functional） $Ileft[f ight]$ 的變分就是 $frac{delta I}{delta f}$ ，其中 $f$ 是任意函數

上面的 $t=int_0^dsqrt{frac{1+y$ 就是一個泛函，它的「自變數」就是 $fleft(y,y$

解答看白神的就好，這裡就定性上說一點。

直線雖然路程短，但是平均速率要慢一點。

最下面那條線雖然平均速率大，但是路程相對來說又更大了。

而時間等於路程除以平均速率，折中之後最好的那條線就是速降線了，具體的就還是看@白書旭的變分法

還是約翰·伯努利對這個問題想的絕，把最降速線問題等價與一個光學問題。

把小球下降的過程等價成光在n層不同折射率玻璃的傳播。

知乎上好像有非常詳細的解答：知乎專欄

http://www.bilibili.com/video/av6385842視頻最後給了一種解法

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