為什麼任意兩個集合的勢都是可以比較的？

01-23

看高數書的時候一直有這個疑問，為什麼兩個集合的勢一定是可以比較的啊

集合的勢的三歧性實際上與選擇公理等價，這是Hartogs證明的。

一方面，良序原理（選擇公理）蘊含集合的勢的三歧性，這是比較顯然的。

另一方面，勢的三歧性也蘊含良序原理。

Hartogs證明了，對於任意集合 $A$ ,總存在某個aleph $aleph(A)$ 滿足：

$aleph(A) leqslant lvert{A} vert$ .

這樣，如果承認勢的三歧性，那麼

$lvert{A} vert < aleph(A)$ .

這樣， $A$ 就是可以良序化的，因為它有一個到良序集的單射。於是就得到了良序原理。

上述Hartogs定理以及整個證明的細節可以參考科普文：

https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Gillman544-553.pdf

謝邀。我覺得這個似乎與選擇公理有關。

如果承認選擇公理，那麼選擇公理與良序公理等價，那麼每一個集合上存在良序。任意兩個良序集都是可以比較的。

如果不承認選擇公理，我感覺好像不是任意兩個集合的勢都可以比較？

定義集合的基數（勢）是需要選擇公理的，集合 $X$ 的基數定義為最小的序數 $alpha$ 使得 $alpha$ 和 $X$ 之間存在雙射，滿足這個條件的序數 $alpha$ 自動地是一個基數。可以證明對於每個良序集都存在一個序數使得它們之間存在雙射，但是對於一般的集合，我們不能說什麼，因此我們需要良序原理（與選擇公理等價）來斷定任意一個集合上都有一個良序，這樣任意一個集合都與一個序數之間存在雙射，因此可以它的基數有定義。定義好了集合的基數後，基數可以比較根據定義是立刻得到的，因為對於任何兩個集合 $X$ 和 $Y$ ，它們的基數也是序數，而所有序數的類是良序的，所以要麼 $|X|leq |Y|$ ，要麼 $|X|geq |Y|$ （作為序數），而基數的序和序數的序是一致的，因此我們也有要麼 $|X|leq |Y|$ ，要麼 $|X|geq |Y|$ （作為基數）。

參考資料——夏道行《實變函數與泛函分析》

因為由選擇公理可以推出，任何一個集合都可以良序化為一個良序集（良序定理），而任何兩個良序集都是可以比較的，從而任何兩個集合也可以比較（可較原理）

其實這三個定理是兩兩等價的：選擇公理 $Leftrightarrow$ 良序定理 $Leftrightarrow$ 可較原理

回去看十遍（實變）教材

因為集合「基」和「勢」的定義，都依賴於康托爾提出的「一一對應」這個概念，也就是「單射」關係。

想比較兩個有限自然數集合大小，比如{1,8,9}和{4,5,6}，最直觀的方法是不管元素本身，直接按有限集合的元素「個數」來，但是自然數集合含無窮個元素，沒辦法用直觀的個數標記，康托爾就把個數概念嚴格化，拓展成「基」，採用一一對應法將任意有窮、無窮可數集合與自然數集合比較，可以得到該集合的「基」與自然數集合「基」 $aleph(0)$ [阿列夫零]的關係。

本來這是夠用的，但是後來又要比較不可數集合[比如實數]和類[在集合基礎上擴展的概念]的大小，基數不能用，但「一一對應」還可以用(其實是用在反證法里)，於是再次拓展成「勢」，由等勢定義等價類，再由等價類中選取構造合理的集合之「基」表示「勢」，比如同時能定義「序」和「基」的「馮·諾伊曼類[ Von Neumann universe ]」。

由「馮·諾伊曼類」模型，可以衍生出一系列公理化的集合模型，比如Z集合，ZF集合，ZFC集合，MK集合，NBG集合，TG集合等，其中NBG/TG等拓展ZFC的集合論，在範疇論和類型論中有重要作用，是可計算理論的基石。而ZFC雖然在純數學中是基礎中的基礎，但很難引入到計算機中。

現在有一波人在嘗試用類型論完全取代集合論作為新的計算和數學統一基礎，所以ZFC以外有廣闊天地，別凡事都從ZFC規整好的邏輯順序出發，要尊重數學認知的真實發展歷程。

從歷史沿革，而不是純公理化定義出發，是先有ZF集合論，然後才有選擇公理和連續統假設，才有三分法，才有ZFC集合論。基本概念沒定義清楚，肯定沒辦法寫出公理來的。形式化的選擇公理是依賴函數概念的，函數又依賴於集合和單射概念的，選擇公理不是用來定義基和勢的，它是良序定理的延伸，上面有些答案弄錯了。