如何評價「三江方士」？

01-23

此人號稱推翻歐拉級數，嘲笑我等科奴。

我打算給他∑1/n個贊

本來能給400個

現在只能給61.35個了

其實三江是公開過運算過程的，我把精簡版發上來與各位同樂。

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【第一步】算術法求 $sumfrac{1}{n^2}$ 。

$1+frac{1}{2^2}+frac{1}{3^2}+cdots+frac{1}{n^2}+cdots$ $=1+frac{1}{9}+frac{1}{25}+cdots+frac{1}{4}left(1+frac{1}{4}+frac{1}{9}+cdots ight)$ 。

設 $sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n^2}=x$ ，則 $1+frac{1}{9}+frac{1}{25}+cdots=frac{3x}{4}$ 。於是有 $frac{3x}{4}=1+frac{1}{9}+frac{1}{25}+cdots=1+frac{1}{8}+frac{1}{24}+cdots$ $=1+frac{1}{4}left(frac{1}{2}+frac{1}{6}+frac{1}{12}+cdots ight)$ $-frac{1}{80}-frac{1}{624}-frac{1}{728}-cdots$ $=1+frac{1}{4}cdot1-0.0162994447...=1.2337005553...$ ，故有 $x=1.6449340737...$ ，該值與 $frac{pi^2}{6}$ 略有出入，但無關大礙。

【附】上式運用了 $sum_{n=1}^{infty}(frac{1}{n})^k=frac{1}{(n-1)}$ 的原理，這是本人發現編寫的。它的定義是：任意自然數倒數之無窮等比數列的和值等於該自然數減 1 的倒數，符合教材「等比數列求和理論」。

【第二步】關於數列 $1+frac{2}{4}+frac{3}{9}+cdots+frac{n}{n^2}+cdots$ 的「分極限求和」公式：

$frac{2}{4}+frac{4}{16}+frac{8}{64}+cdots+frac{2^k}{2^{2k}}=frac{2+1}{2^2-1}$ ， $frac{3}{9}+frac{9}{81}+frac{27}{729}+cdots+frac{3^k}{3^{2k}}=frac{3+1}{3^2-1}$ ， $frac{5}{25}+frac{25}{625}+frac{125}{15625}+cdots+frac{5^k}{5^{2k}}=frac{5+1}{5^2-1}$ ，……， $frac{n}{n^2}+frac{n^2}{n^4}+frac{n^3}{n^6}+cdots+frac{n^k}{n^{2k}}=frac{n+1}{n^2-1}$ 。

【注】 $sum_{n=1}^{infty}(frac{n}{n^2})^k=frac{n+1}{n^2-1}$ 由本人推定——教科書沒有，但正誤對錯經得起舉一反三驗證。這個「求極限和通式」可以推導至 $sum_{n=1}^{infty}(frac{pnpm x}{n^2})^k=frac{pn+ppm x}{n^2-1}$ 。

【第三步】 $intsum_{n=1}^{infty}frac{1}{n}=sum_{n=1}^{infty}frac{2n}{n^2}$ 。

將數列 $frac{1}{n}$ 以通式 $n^2+2(x-1)n+(x-1)(x-2)$ 和 $n^2+(2x-1)n+(x-1)^2$ 交替分解成無限多個子集，這些子集的和值都是收斂的、其極限呈規律形態如下：

即 $intsum_{n=1}^{infty}frac{1}{n}=frac{pi^2}{6}+1+frac{3}{4}+frac{5}{9}+cdots$ $=1+frac{1}{4}+frac{1}{9}+cdots+1+frac{3}{4}+frac{5}{9}+cdots$ $=2+frac{4}{4}+frac{6}{9}+frac{8}{16}+cdots=sum_{n=1}^{infty}frac{2n}{n^2}$ 。

$intsum_{n=1}^{infty}frac{1}{n}=sum_{n=1}^{infty}frac{2n}{n^2}$ 屬於「極限恆等式」，它的內涵是 $sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n}=2sumfrac{1}{n}$ （極限是它自身的兩倍）； $sum_{n=1}^{infty}frac{2n}{n^2}=sum_{n=1}^{infty}frac{2}{n}=2sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n}$ 回到了數學本源，從中可以看出數學的嚴謹性：「無窮級數」不能改變 $sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n}$ 的性質。

【第四步】解方程：用算術法求 $sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n^2}$ 的格式求 $sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n}$ 。

由 $intsum_{n=1}^{infty}frac{1}{n}=sum_{n=1}^{infty}frac{2n}{n^2}$ 得： $2(1+frac{2}{4}+frac{3}{9}+cdots)$ $=2(1+frac{3}{9}+frac{5}{25}+cdots)+frac{4}{4}(1+frac{2}{4}+frac{3}{9}+cdots)$ ，設 $1+frac{2}{4}+frac{3}{9}+cdots=x$ ，則 $2x=2(1+frac{3}{9}+frac{5}{25}+cdots)+x$ ， $x=2(1+frac{3}{9}+frac{5}{25}+cdots)$ ，由第二步， $x=2(1+frac{4}{8}+frac{6}{24}+cdots)$ 。

故有 $frac{x}{2}=1+frac{4}{8}+frac{6}{24}+frac{8}{48}+frac{10}{80}+frac{10}{120}+cdots$ $-frac{10}{80}-frac{26}{624}-frac{28}{728}-cdots$ ，由於 $frac{4}{8}+frac{6}{24}+frac{8}{48}+frac{10}{80}+cdots=frac{x}{2}$ ， $-frac{10}{80}-frac{26}{624}-frac{28}{728}-cdots=-1$ ， $frac{10}{80}+frac{26}{624}+frac{28}{728}+cdots=1$ 。

由第一步， $frac{1}{8}+frac{1}{24}+frac{1}{48}+cdots=frac{1}{4}=0.25$ ， $frac{1}{80}+frac{1}{624}+frac{1}{728}+cdots=0.0162994447...$ ，故有 $frac{1}{0.0162994447...}=frac{x/2}{0.25}$ ， $x=30.675891676...$ ， $intsum_{n=1}^{infty}frac{1}{n}=2sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n}=61.351783352...$ 。

直接計算也可以得到同樣的結果： $1+frac{1}{2}+frac{1}{3}+cdots=1+frac{2}{4}+frac{3}{9}+cdots$ $=1+frac{3}{9}+frac{5}{25}+cdots+frac{2}{4}left(1+frac{2}{4}+frac{3}{9}+cdots ight)$ 。設 $1+frac{2}{4}+frac{3}{9}+cdots=x$ ，則 $x=1+frac{3}{9}+frac{5}{25}+cdots+frac{x}{2}$ ……以下同上， $intsum_{n=1}^{infty}frac{1}{n}=2sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n}=61.351783352...$ 。（此可以驗證第三步準確無誤）