為什麼一個錯誤命題可以推出一切命題？

01-23

如題，如果1+1等於三，那麼羅斯福是教皇？
其實是想知道這句話是神馬意思。。==

這是對假言命題真值規律的錯誤解讀。

假命題並不能推出一切命題，事實上假命題什麼也推不出。形式邏輯研究的主要是必然性推理，而必然性推理的定義是「從真前提能夠必然地推出真結論的推理」。

所謂的以假命題進行的推理，實際上是指「否定前件式」推理，換言之，推理的前提並不是假命題，而是「A命題為假」這個真前提。

和聯言命題、選言命題不同，假言命題的有效形式是分情況的，其中充分條件假言命題的特點是「有之必然」，必要條件假言命題的特點是「無之必不然」。而對於充分條件時「無之」如何，必要條件假言命題時「有之」如何，其實是沒有意義的。所以，充分條件假言命題前件為假、必要條件假言命題前件為真的情況，在真值表裡只是湊位置的，它們的所謂「推理有效」，僅僅是沒有違反「有之必然」和「無之必不然」的推理要求。

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針對題主的追問進行一些補充

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X屬於空集是一個恆假式，對恆假式賦真值進行推理，其結果就是真值失效。因此，嚴格來說，並不是當X屬於空集時，對於一切x都成立，而是此時「成立」和「不成立」是混同的。

建立在集合論上的形式邏輯不允許自我指涉的否定（否則恆假），因此無論羅素悖論也好，此處X屬於空集也好（X屬於空集=X不屬於X），都因為恆假而失去被賦予真值的意義。這個類似於在代數運算中將0作為除數，比如下面這個例子：

證明，對任意x，x=2x

x=x

x^2=x^2

x^2-x^2=x^2-x^2

x(x-x)=(x+x)(x-x)

x=x+x

x=2x

《符號邏輯講義》一書中提到了與此相關的一個故事，可能是個笑話。書中大致是有人對羅素「假命題可以推出任一命題」的觀點表示質疑，質問羅素如何從「2+2=5」推出「羅素和教皇是同一個人」。套用傳說中羅素的回應，這個問題可以這樣回答：

1+1=3

1=2 (兩邊同減去1)

羅斯福和教皇是兩個人。 (事實)

羅斯福和教皇是一個人。 (等值替換)

這個地方體現了自然語言的不嚴謹性。

數學地說：

1.首先定義「假命題"：如果p是真命題，-p就是假命題，反之亦然。

2.再定義「推出」:（p -&> q）表示p推出q，用與或非表示是，(-p 或 q)這個命題。

3.好，現在假設p是假命題，q是任意一個命題，-p就是真命題，所以（-p或q）永遠是真的。

因為（p-&>q)和（-p或q）等價，（p-&>q)這個命題永遠是真的。

總結：我們在與或非加上定義1，2的邏輯系統中，"一個假命題可以推出任意一個命題"這個命題永遠是真的。這個邏輯系統看上去是很自然的，但是如果我們定義了其他的邏輯系統，或者我們將自然語言賦予了另一種解釋，這個命題就不一定對了。

有一個問題在於，定義一個邏輯系統本身，也需要一個邏輯系統，這似乎是無解的。

非要理解的話，可以這麼想，集組（也就是那個M）越大，限制條件越多，其交集越小，比如（中國且女生）的人數肯定比（中國）的人數少。

反之，如果M為空集，就是完全沒有限制條件，其交集自然是（萬有集）。

而眾所周知（萬有集）是不存在的。為什麼你那本書有。羅素悖論以及子集公理。

(p→q且p)→q是永真的 0→q也是永真的但是(p→q且非p)推不出任何東西所以1+1等於三→羅斯福是教皇這推理沒問題但是由於1+1=3是假的（是加了特技的），所以並不知道羅斯福是不是教皇