該怎麼理解泛函以及變分？是一種什麼思想，老師講的聽不懂

01-23

變分跟微分差不多。不過作用對象不一樣。

函數是從一個集合到另一個集合的映射，函數的著眼點在於點和點的對應，微分關係也即定義域中的點的變化如何決定值域中點的變化。

泛函則著眼於從一個集合到另一個集合的所有映射組成的集合，並考慮這個映射關係和一個目標泛函的對應，更注重不同的映射之間的關係，變分關係也即映射的變化如何決定了目標泛函的變化。

簡單來說，泛函即是函數的函數，變分作用在函數上，微分則作用在定義域上。

偶有體會，不請自來。

答主上學期學了泛函分析與變分原理，也和泛函分析裡面一大堆嚴謹而瑣碎的定理打交道好久。雖然我們都知道一個邏輯上嚴謹的公理和推論體系是一個學科必要的理論基礎，但是作為一個工科生，我還是喜歡用更直觀，更實際的角度去觀察問題。

以下文章我會盡量以一個大學一年級本科生也能看懂的角度介紹泛函以及它的變分。

首先大家都學過函數。啥叫函數呢？函數就是一個黑箱子，你在箱子這頭輸入進去一系列數值，經過函數的運算，給你返回一些輸出數值。

這個函數，比如最簡單的y=x^2，有一個特點，就是它的輸入和輸出都是數值。

而現在有這樣一類問題，它的自變數本身就是一個函數。舉個簡單的栗子：

有一個曲面滑梯，寶寶把一個小玻璃球放在滑梯頂端讓它沿著曲面滑下來。用的時間假設是T1。又有另外一個曲面，高度和第一個滑梯一樣，但就是曲面形狀不太一樣，小玻璃球滑下來用的時間我們假設它是T2。那好奇寶寶就要問了，什麼形狀的滑梯，能讓小玻璃球從這個高度滑下來用的時間最短呢?

Onenote 畫的實在有點丑……大家領會精神

在這個問題里，滑梯的形狀可以用一個函數Y=Y(x)來表示，每一個滑梯都對應了一個小玻璃球滑下來的時間。其實這就定義了一個泛函，剛才的問題就是各種泛函分析書裡面的最速降線問題。通俗的說，函數就是你輸入一個數值，返回一個數值。泛函就是你輸入一個函數，返回一個數值。還用剛才的圖，對比一下：

雖然描述泛函有很多種方式，只要是給出一個函數返回一個數值都叫泛函，但我們一般還是習慣用積分的形式描述泛函。

理解了什麼是泛函，再來看看什麼是變分：

首先來看什麼是函數的微分。我們可以這樣去理解：當輸入的自變數x發生變化的時候，對應函數值的變化，就是函數的微分。泛函裡面，自變數不再是一個數值，自變數變成了一個函數，那麼泛函的變分就定義為，當輸入的自變函數Y發生變化的時候，對應泛函的值的變化。列表如下：

把泛函的變分和函數的微分並列的寫在一起，事情就變得直觀了許多。

表格里寫出的泛函記法，就是上面說到的用積分的方式描述泛函的記法。x頭上哪一個點代表x對時間t求導。說明這個泛函是關於自變函數x和x導數的泛函。直觀上可以理解成是關於質點位移和速度的泛函。

至於泛函的變分能幹什麼用呢？其實我答這道題就是因為我想清楚了虛功原理，最小勢能原理和Ritz法，Galkin法的區別和本質。

變分能做的事情多著呢，不妨移步我這一篇回答：力學領域有哪些黑科技？ - 畢紹洋的回答

這幾天剛學完具體如何用變分法求解板的問題，有時間找個相關的問題寫下我的理解~

f作為空間X到實數集R的的映射

f的變分（或者叫做Banach空間里的微分）就是f增量的差

當X就是R的時候，也就成了通常的微分

換句話說，把歐氏空間里的微分看做Banach空間的微分（像集是數域時就叫變分）的特殊情況

函數

double fun(double x, params double[] otherParams)

{

//do something

Return someDouble;

}

泛函

Double Gfun(funDelegate param)

{

//do something

Return someDouble;

}

變分與微分是有區別的，簡而言之：

微分是變分一個解。微分主要是針對一個特定的坐標系，而變分是針對廣義的坐標系。變分是微分的計算方式相同。都是用求導的方式。表達形式不同，變分用δ表示，而微分是d表示。實際的物理意義不同，d表示「真實」，δ表示「可能」。

先統一口徑，我現在說「映射」為一般的集合與集合間的一種函數定義關係。設映射 $f:A o B$ ，那麼若 $f(x)=p$ 和 $f(x)=q$ ，我們肯定有 $p=q$ ，因為這是一個映射（函數）。理解一個映射，只需要理解它是怎麼作用在輸入上的，即知道給定一個輸入 $x$ ，它的輸入 $f(x)$ 是什麼。記號 $f:A i x o f(x)in B$ 表示泛函的定義域是 $A$ ，輸出域是 $B$ ，給定一個輸入 $x$ ，會得到結果 $f(x)$ 。

一般來說，我們把定義域為數（實數、整數...）的映射叫做函數；而把定義域為函數的映射叫做泛函。

舉個例子，映射 $mathbb{R} i xmapsto sin(pi x)inmathbb{R}$ 可以看作是定義在 $mathbb{R}$ 上的函數，給定一個輸入實數 $x$ ，得到一個結果 $sin(pi x)$ 。

相反，給定某實數 $a$ ，映射 $C^0 i fmapsto f(a)inmathbb{R}$ 可以看作定義在連續函數上的一個泛函，作用在一個連續函數 $f$ 上，得到這個函數在 $a$ 點的值，這個泛函可以叫做 function evaluation at $a$ ，即函數在 $a$ 點的取值泛函。