拋棄行列式的線性代數 1.1 複數

幾乎所有的線代教材都使用行列式來證明：有限維復向量空間上的線性運算元有本徵值。但是，行列式既難懂又不直觀，而且其定義的導入也往往缺少動機。為了證明復向量空間上本徵值的這個存在性定理，大部分教材都必須先定義行列式，再證明一個線性映射不可逆當且僅當它的行列式等於0，然後定義特徵多項式。這樣的思路根本不能讓學生領會為什麼本徵值一定存在。

與此相反，本教程給出的不使用行列式的簡單證明更直觀。本教程把行列式放在了最後，這就開闢了一條通往線性代數的主要目標——理解線性運算元結構的新途徑。

本教程為基於美國數學家Sheldon Axier的《Linear Algebra Done Right》而寫成的讀書筆記。

第1章 向量空間

線性代數主要研究有限維向量空間上的線性映射。本章將給出向量空間的定義，並討論其基本性質。在某些數學領域，包括線性代數，如果在研究實數的同時也研究複數，就會得到更好的定理，而且理解也會更深刻。因此，我們先介紹複數及其基本性質。

1.1

瑞士數學家歐拉於1777年最先使用符號i來表示

形式上，複數就是一個有序的數對 ，其中 ,但是我們把它寫成 。所有複數構成的集合稱為 。

若 ，則將 和 看成是一樣的，於是可以將 看作 的一個子集。

我們把上的加法和乘法定義如下：

，滿足

• 交換性

對所有 ，都有 ， ；

• 結合性

對所有 ，都有 ，

；

• 分配性

對所有 ，都有 。

• 單位元

對所有 ，都有 ， ；

• 加法逆

對每個 ，都存在唯一一個 ，使得 ；

• 乘法逆

對每個 ， ，都存在唯一一個 ，使得

對 ，以 表示 的加法逆。因而， 是使得 的唯一複數。 上的減法定義為 ，其中 。

對 ， ，以 表示z的乘法逆，因而， 是使得 的唯一複數。 上的除法定義為 ，其中 ， 。

為了使給出的定義和證明的定理對於實數和複數都適用，我們將採用如下記號：本教程中 （field）總表示 或 。

中元素稱為標量。