斐波那契數列的通項公式

01-23

摘要：本文將以斐波那契數列為引子，導出一般的二階常係數線性遞歸式的求解問題。

所謂斐波那契數列指的是數列：1，1，2，3，5，8，13，21，……。即數列滿足遞推公式 $F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n}$ ，（ $F_1 = F_2 = 1$ ），用語言描述就是後一項等於前兩項和。很多高中生、非數學專業本科生都對此數列的通項公式的求法比較感興趣，在本文中，我將給出其通項公式的解法，其中關係到二階常係數線性遞歸式的求解問題，需要說明的是，本文的內容不作為嚴格的數學證明，只是給出這種求解的引導，希望能給讀者一些啟發。

當我們並沒有學習到更深一層次的數學理論時，比如線性代數，離散數學等，我們無法使用那些已經成熟的理論工具來求解斐波那契數列的通項公式，但是我們依然有一些辦法可以得到，這種辦法有時候可能只是在一些巧合或者偶然的情況下得到的，請看下面的解法思路。

我們假設有一個等比數列 $left{ x^n ight}$ ，公比是x，x不為0，首項為1，可以滿足斐波那契數列的遞推公式，於是就有：

$x^{n+2} = x^{n+1} + x^{n}$ ，將等比數列 $left{ x^n ight}$ 代入遞推式中得到，

提取 $x^n$ ，移項，即有：

$(x^2 - x - 1)x^n = 0$ ,

由於 $x^n e 0$ ，可得：

$x^2 - x - 1= 0$ ，

解此一元二次方程，可得兩個根為： $x_1 = frac{1+sqrt{5} }{2}$ ， $x_2 = frac{1- sqrt{5} }{2}$ 。

也就是說等比數列 $left{ x_1^n ight}$ ， $left{ x_2^n ight}$ 是滿足斐波那契數列遞推公式的兩個解，但是實際上這兩個等比數列都不是斐波那契數列的通項公式，既然單獨的解不是，那麼它們的組合呢？容易驗證它們的線性組合，即： $c_1x_1^n+c_2x_2^n$ ， $c_1$ 、 $c_2$ 是兩個待求解的常數，也是遞推公式的解。

為了確定這兩個常數，我們需要數列的前兩項作為初始因子，細想一下，一個數列怎麼能沒有首項呢？例如等差數列由首項和公差確定，等比數列由首項公比確定，公差和公比至少需要數列的前兩項確定，將 $F_1$ 和 $F_2$ 代入線性組合的式子里，可得：

$left{egin{aligned}& c_1 cdot (frac{1+sqrt{5} }{2}) + c_2cdot frac{1-sqrt{5} }{2} = 1 & \ & c_1 cdot (frac{1+sqrt{5} }{2})^2 + c_2cdot (frac{1-sqrt{5} }{2})^2 = 1 & \end{aligned} ight.$ ，

解得： $c_1 = frac{1}{sqrt{5}}$ ， $c_2 = -frac{1}{sqrt{5}}$ 。

於是斐波那契數列的通項公式為： $F_{n} = frac{1}{sqrt{5} }[(frac{1+sqrt{5} }{2})^n - (frac{1-sqrt{5} }{2})^n]$ 。

可以驗證，上式就是斐波那契數列的通項公式。

這種方法抽象出來就是特徵方程法，特徵方程的解法在常係數微分方程中同樣適用，解法的理論依據，我們在此不做詳細的論證，有興趣的讀者可以去查閱相關資料。

我們先把上面的解法抽象出來。

設二階常係數齊次遞歸式為： $aH_{n+2} + bH_{n+1} + cH_{n} = 0$ ，其中a、b、c、為常數，有一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 與之對應，稱其為遞歸式的特徵方程，設其兩個根為 $x_1$ 、 $x_2$ 。

當 $x_1 e x_2$ ，即特徵方程有兩個不等的實根時，遞歸式的通項公式為 $H_{n} = c_1x_1^n + c_2x_2^n$ ， $c_1$ 、 $c_2$ 是兩個待求解的常數；
當 $x_1 = x_2$ ，即特徵方程有兩個相等的實根時，我們可以構造出一個線性無關解 $c_2n$ ，則遞歸式的通項公式為： $H_{n} = (c_1 + c_2n)x^n$ ， $c_1$ 、 $c_2$ 是兩個待求解的常數；
當特徵方程沒有實根時，則遞歸式不存在實數範圍內的解，此時的數列變為複數範圍內的數列，我們在此不做討論。

$c_1$ 、 $c_2$ 兩個常數可以用數列的前兩項 $H_1$ 、 $H_2$ 來確定。

特徵方程的解法不限於二階常係數齊次遞歸式，對更高階的遞歸式也適用，二階的意思是特徵方程是二次，三階即對應三次方程，更高階則類推，等比數列屬於一階。常係數的意思是a、b、c是常數，而不是函數，齊次的意思是遞歸式的右邊是0，而不是關於n的函數，若右邊是關於n的函數，特徵方程法也成立，只是需要外加一個關於此函數的特解。

對於常係數線性遞歸式的解法就說到這裡，下面我們來看看斐波那契數列的一些性質。

極限性質： $lim_{n ightarrow infty }{frac{F_{n}}{F_{n+1}}} = frac{sqrt{5} - 1}{2}approx 0.618$ ，即黃金分割比，因此斐波那契數列又稱為黃金分割數列。
前n項和： $sum_{i = 1}^{n}{F_i} = F_{n+2} - 1$ ，由通項公式可以看出斐波那契數列就是兩個等比數列的線性組合，因此分別按照等比數列求和公式就可以求前n項和。
交錯和性質： $sum_{i = 1}^{n} {(-1)^iF_i} = (-1)^nF_{n-2} - 1$ 。
集合性質：集合 $left{ 1, 2, 3, ... ,n-1 ight}$ 的不含相鄰兩數的子集數為： $F_n$ 。
行列式性質： $F_1 = F_2 = |1|$ ， $F_3 = egin{vmatrix}1 & 1 \-1 & 1 \end{vmatrix}$ ， $F_4 = egin{vmatrix}1 & 1 & 0 \-1 & 1 & 1 \0 & -1 & 1\end{vmatrix}$ ，……。
計數性質：以1步或2步登上n-1階台階的登法數為 $F_n$ 。
組合數性質： $sum_{i = 0}^{n-1}{C_{n-i}^i} = F_n ,(i<n, ileqslant n-i)$ 。

還有許多其它性質，這裡不再列舉。

總結：有時候，遇到一個問題時，我們可能沒有現成的方法，或者沒有現成的理論，我們同樣可以用已有的知識，通過某種巧合、類比、組合、偶然的發現來得到問題的答案，雖然這種答案的理論性有待考究和完善，然而這正是一種研究新事物的方法！本文希望給那些愛好數學，喜歡鑽研數學的高中生們一些啟發吧！