數學世界觀（上）：數學思維到底是什麼

數學世界觀（上）

上一篇我和大家分析了幾個關於奧數的常見誤區，那奧數實際上在教給我們什麼呢？讓我們把話題擴大一點，先把數學學習涉及的框架搭起來。

從我的理解來看，數學學習分為四個層面，借用道家學說的理論，即「道、法、術、器」。

數學之「道」，即數學思維。

數學思維不是一種知識，而是一種能力，或者說的更縹緲一點，是一種感覺。但是它又是搭建數學世界最重要的根基，可以說它不存在，但是又無處不在。

就好比學音樂的人需要的樂感，往往很難形成一門課程進行培養，但是偏偏又是學習音樂最重要的，甚至是決定成就高低的一種能力。有的人天生就有很強的樂感，但是一般人也可以通過長期接觸音樂進行培養。數學思維亦然。

數學思維包括邏輯思維、形象思維、空間抽象思維等。

邏輯思維用於對事物因果關係的理解和對或然正確命題的推理等。邏輯思維的非數學應用非常廣泛，例如說話、思考的周全縝密，有條不紊就需要用到邏輯。

那邏輯思維需要專門訓練嗎？在日常生活中不是都能學到嗎？看看下面的例子就知道了：

1.1 小明的媽媽長得很高，所以長得很高的都是小明的媽媽。

1.2 數學學得好需要很強的邏輯思維，所以邏輯思維好的數學都學的很好。

2.1 小明病了，躺著床上——《走進科學》：為什麼躺在床上會讓人生病？

2.2 經濟發達的地方勞動力都很緊缺——《XX日報》：為什麼勞動力緊缺的地方經濟發展更好？

3.1 我們宿舍有三個藝術系的都是美女，藝術系全部是美女啊。

3.2 我身邊三個射手座都劈腿了，射手座就是一個愛劈腿的星座。

4.1 大腦裡面主要是水構成的，多喝水就能讓大腦發育更好。

4.2 骨骼裡面有很多的鈣，多吃鈣片就能長得更高。

5.1你每次測驗都100分，這麼聰明怎麼連掃個地都不會！

5.2 你不是讀了博士么，層次這麼高怎麼連女朋友都找不到！

上面1-5組的邏輯題分別犯了：充分必要混淆、因果倒置、以偏概全、錯誤歸因、偷換概念的邏輯謬誤，這些貌似愚蠢的錯誤，難道不是每天在我們身邊發生嗎？

我們經常可以聽到別人說「你這話說得沒有邏輯！」但是就像頭頂上的地中海一樣，每個人都只能看到比自己矮的人，想像不到高個子看自己也是一樣的景象。這時候，理科專業背景的人往往有些優勢，能站在邏輯的制高點（謝天謝地！終於能為「數學無用論」的反對者掙回一分）。

形象思維是理解、運用、變化平面圖形的能力。例如之前說的數形結合，就對圖形理解提出了一定的要求。有時候我們解釋某些複雜的關係時會畫一些結構圖，這也是形象思維在起作用。

那你的形象思維如何呢？試試下面這個小題目。

5秒內找到答案，完全不需要任何輔助，選項看一眼就知道對不對：超常！

10秒內找到答案，在選項和題目之間來回比對兩三次就能看出來：優秀！

30秒以內找到答案，或者需要用手指之類進行輔助才看的出來：不錯！

30秒以上，或者選錯的：需要加油咯！

看正確答案，請在公眾號【不嚴肅育兒】回復：形象思維題

在做這道題目的時候，如果你的腦海中自動浮現出上面的圖案根據需要自由旋轉並拼到下面的選項中去，那恭喜你！說明你的形象思維過人。

空間抽象思維則是將平面圖形和空間立體圖形相互轉換、將立體圖形變化分解的能力。

舉個例子，試試下面這道題吧：

下面的圖形都是由6個正方形組成的，沿粗線剪下來以後，哪些可以摺疊成正立方體（骰子形狀）？

15秒內全部判斷完，並且完全正確：超常！

30秒內全部判斷完，並且完全正確：優秀！

一分鐘內全部判斷完，並且錯誤不超過1個：不錯！

一分鐘以上，或者錯誤超過1個：需要加油咯！

看正確答案，請在公眾號回復：空間抽象題

這項能力在高中數學立體幾何題中被極大地運用，很多被虐得很慘的高中生，都是由於這項基本能力沒有掌握。

另外，空間抽象思維在認路方面也是起到非常重要的作用。有的人認路是採用平面記憶的方式，也就是將一條路線在哪裡拐彎，拐彎處的景物長什麼樣子記下來；有的則是採用立體記憶的方式，將自己理解為在地圖上行走的一個點，最後能畫出一張平面地圖上的線路。後者的好處是最終在腦海搭出一個立體地圖，對於裡面新的路線也能快速掌握，隨時切換，這就是空間抽象思維在起作用。

所謂「道可道，非常道」，上面講的這些數學思維，本身的含義是比較廣和比較飄渺的，舉的這些例子只是試圖盲人摸象一樣抓取其中一個點來展現而已。

數學思維本身不是數學的一個知識點，但又貫穿在數學學習中的方方面面，就像是數學這棵大樹的龐大根系，雖然看不見，卻給每一片枝葉輸送賴以為生的養分。

數學之「法」，即數學理論，包括數學概念、定理。

數學概念的學習是呈明顯的螺旋上升方式進行的。例如小學學習數字，先學0-9，然後拓展到兩位數、三位數；高年級學小數、分數，「數」的概念就被擴大了；高中學習了無理數，這時候實數軸就被填滿了；大學還會虛數，然後複平面也被填滿了，發現「數」不僅是代數概念，還可以跟幾何打通，最後有一種「恍然大悟」的感覺。每次學習新的概念，都是對舊概念的「傳承」和「創新」，特別講究融會貫通。

另外，有時候新的知識不僅是對舊概念的擴充，還會進行重構。

很多人很好奇，大學數學系都學什麼啊，高中數學已經難得不要不要的，大學的畫風是不是都是這樣的？

以我們本科數學基礎課《數學分析》為例，課本（《數學分析》，A.Zorich，第二版）的第一章標題是——基本概念（集合、函數等），第二章標題是——實數。是不是感覺高一就學完了？

但是書里將實數和加、乘法運算從另外一個重新進行了定義，運用了從一般到特殊的演繹方法——現在我們要找一個同時滿足加法公理、乘法公理、序公理和完備公理的集，滿足這些條件的集可能有很多個，我們常用的實數集剛好符合要求，裡面的0、1、加法、乘法剛好能用上，挺好，就你吧。

就好比我們平時描述地球，會說上面有山有水，住著人和動植物。數學分析會這樣去描述：為了找一個能產生生命的星球，星球溫度要在2℃以上，氧氣含量在28%以上，有液態水，引力適中巴拉巴拉。定義完了以後，在宇宙搜一圈發現地球剛好滿足，挺好，以後就你了。

這並不是數學家們的矯情。

雖然實數是我們天天在用的概念，但是要給它作一個定義，其實是很難的。這本書一耙刨到這個概念的根子裡面去，順帶挖出實數一些有用的性質，在此之上再衍生出其他變化萬千的性質、定理等等，最後形成了豐富多彩的代數世界。

這裡可以看出數學非常重視概念的定義，同時也看出了它的嚴謹性，那就是定義之外別無它物。類似的還有歐幾里得幾何理論體系，用一些基本概念和五條公理推導出我們常見的整個幾何體系。更有意思的是，這些公理作為整個體系的基石，還可以挪動，例如將第五公理改寫，可以搭建出黎曼幾何、羅氏幾何等完全不同樣子的大廈！

所以，學數學的人在爭辯問題的時候，常常會說「這要看你怎麼定義XXX」，因為在他們眼裡，沒有清晰的定義，整個討論就無從談起了。

數學概念和由此推導而成的定理，是使用者從無到有的創造，然後又利用這些創造去約束其他的萬事萬物，類似於道家中「法」的概念。

這些數學理論構成了數學大樹的枝幹。所有細枝末葉，都是從枝幹延伸出去的。枝幹一圈一圈地增長，支撐著樹冠長得越來越繁茂。

（未完待續）