點到直線距離公式的幾種推導

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摘要：本文將介紹幾種推導點到直線的距離公式的方法。

本文默認情況下，直線的方程為 $l:Ax+By+C=0$ ，A，B均不為0，斜率為 $k_l$ ，點的坐標為P(x0，y0)，點 $P$ 到 $l$ 的距離為 $d$ 。

推導一（面積法）：

如上圖所示，設 $R(x_R,y_0)$ ， $S(x_0,y_S)$ ，由R，S在直線 $l$ 上，得到：

$Ax_R+By_0+C=0$ ，

$Ax_0+By_S+C=0$ ，

所以： $x_1 = frac{-By_0-C}{A}$ ， $y_2 = frac{-Ax_0-C}{B}$ ，

所以： $|PR|=|x_0-x_1|=left | frac{Ax_0+By_0+C}{A} ight |$ ， $|PS|=|y_0-y_2|=left | frac{Ax_0+By_0+C}{B} ight |$ ，

於是： $|RS| = sqrt{|PR|^2+|PS|^2} = frac{sqrt{A^2+B^2} }{AB} cdot |Ax_0+By_0+C|$ ，

所以從三角形面積公式知： $dcdot |RS|=|PR|cdot |PS|$ ，

從而有： $d=frac{|Ax_0+By_0+C|}{sqrt{A^2+B^2} }$ 。

推導二（三角函數斜率法）：

如上圖所示，直線的斜率為α，同推導一， $|PR|=|x_0-x_1|=left | frac{Ax_0+By_0+C}{A} ight |$ ，

$d = ||PR|sinangle PRQ|=||PR|sin alpha |$ ，

又有 $|tanalpha |=|k_l|=left | frac{A}{B} ight |$ 及三角函數公式 $frac{1}{tan^2alpha } = frac{1}{sin^2alpha } - 1$ ，

代入消去α，便有： $d=frac{|Ax_0+By_0+C|}{sqrt{A^2+B^2} }$ 。

推導三（求點法）：

如上圖所示：因為 $k_{PQ}cdot k_l=-1$ ，所以 $k_{PQ}=frac{B}{A}$ ，

所以直線PQ方程為： $y-y_0=frac{B}{A}(x-x_0)$ ，

聯立 $Ax+By+C=0$ ，

求出Q點的坐標為 $Q(frac{B^2x_0-ABy_0-AC}{A^2+B^2},frac{A^2x_0-ABx_0-BC}{A^2+B^2})$ ，

所以： $d=|PQ|=sqrt{(frac{B^2x_0-ABy_0-AC}{A^2+B^2} - x_0)^2+(frac{A^2x_0-ABx_0-BC}{A^2+B^2}-y_0)^2}$

$=frac{|Ax_0+By_0+C|}{sqrt{A^2+B^2} }$ 。

推導四（造圓切線法）：

如上圖所示，以點P為圓心，作圓與直線 $l$ 相切，則此圓的方程為：

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=d^2$ ，

聯立直線方程 $Ax+By+C=0$ 消去y得：

$(frac{A^2}{B^2}+1)x^2+(frac{2AC}{B^2}+frac{2A}{B}y_0-2x_0)x + (x_0^2+y_0^2+frac{C^2}{B^2}+frac{2Cy_0}{B}-d^2) = 0$ ，

由相切的條件知： $Delta =0$ ，

即： $(frac{2AC}{B^2}+frac{2A}{B}y_0-2x_0)^2-4cdot (frac{A^2}{B^2}+1)cdot (x_0^2+y_0^2+frac{C^2}{B^2}+frac{2Cy_0}{B}-d^2) = 0$ ，

解得： $d=frac{|Ax_0+By_0+C|}{sqrt{A^2+B^2} }$ 。

推導五（函數極值法）：

如上圖所示，該問題可以轉化為求直線 $l$ 上一動點Q，使得PQ的距離最短，當然我們已經知道d是最短的，這樣，問題就變為了一個二元函數的條件極值問題，函數為： $|PQ|=d(x,y)=sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}$ ，d就是函數，條件就是 $Ax+By+C=0$ ，求最小值，由於距離始終大於0，我們考慮根號裡面的二元二次函數極值問題，我們採用拉格朗日乘數法。

令 $L(x,y,lambda )=(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+lambda (Ax+By+C)$ ，

所以 $left{egin{aligned}&L_x$ ，

解得： $x=frac{B^2x_0-ABy_0-AC}{A^2+B^2}$ ， $y = frac{A^2x_0-ABx_0-BC}{A^2+B^2}$ 。

代入函數中，即得： $d=frac{|Ax_0+By_0+C|}{sqrt{A^2+B^2} }$ 。

推導六（對稱求點法）：

如上圖所示，設 $P(x$ 是 $P(x_0,y_0)$ 關於直線 $l$ 的對稱點，於是有：

$left{egin{aligned}&frac{y$ ，

解得： $x$ ， $y$ ，

所以： $d=frac{1}{2}sqrt{|PP$ 。

推導七（求高法）：

如上圖所示，由直線方程可求得R、S的坐標，即 $R(0,-frac{C}{B})$ ， $S(-frac{C}{A},0)$ ，於是三角形ROS的面積為： $S_{ riangle ROS} = left | frac{1}{2}egin{vmatrix} -x_0 & -frac{C}{B}-y_0 \-frac{C}{A}-x_0 & -y_0 \end{vmatrix} ight |$ ，

所以： $|RS| = sqrt{(frac{C}{A})^2+(frac{C}{B})^2} =left | frac{Csqrt{A^2+B^2} }{AB} ight |$ ，

所以： $d=frac{2S_{ riangle ROS}}{|RS|}=frac{|Ax_0+By_0+C|}{sqrt{A^2+B^2} }$ 。

推導八（相似三角形法）：

如圖所示， $PQot l$ ， $OSot l$ ，於是 $riangle PRSsim riangle ORQ$ ，於是 $frac{d}{|OQ|}=frac{|PR|}{|OR|} = lambda$ ，

由直線分線段比公式可得： $lambda = frac{Ax_0+By_0+C}{|C|}$ ，

而 $|OQ| = frac{frac{C}{A}cdot frac{C}{B}}{|frac{Csqrt{A^2+B^2} }{AB}|} = frac{|C|}{sqrt{A^2+B^2}}$ ，

所以 $d=lambda |OQ|=frac{|Ax_0+By_0+C|}{sqrt{A^2+B^2} }$ 。

總結：平面解析幾何主要的研究對象是直線與圓錐曲線，而平面幾何主要的對象是直線以及由線段組成的幾何圖形，因此在解析幾何的問題中，往往使用平面幾何的知識就能帶來更加簡潔的過程，同時，我們可以發現，即便是一個簡單的問題，也會有許多不同的辦法，每一種辦法都是一個知識點的應用，善於發現並比較這些方法，會更讓我們的思維開闊，創新就是這麼來的！