直線方程的各種形式

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摘要：在平面解析幾何中，直線方程有多種形式，在解決不同的問題時，使用適當的方程形式可以使問題簡化，本文將列舉出這些方程即性質。

一般式： $Ax+By+C=0$
一般式說明了平面直角坐標繫上一個一元二次方程表示一條直線，這是一種一一對應的關係。這裡，A、B不同時為0，下面在表達斜率和截距時，分母均不為0，下文不再特殊說明。從直線的一般式中可以知道以下信息：
斜率： $k=-frac{A}{B}$
法向量： $overrightarrow{ extbf{n}}=(A,B)$
方向向量： $overrightarrow{ extbf{a}}=(B,-A)$

x軸上的截距為： $-frac{C}{A}$ ，y軸上的截距為： $-frac{C}{B}$
點斜式： $y-y_0=k(x-x_0)$
點斜式是由一個定點 $P(x_0,y_0)$ 和斜率 $k$ 確定的直線方程。
斜率： $k$
法向量： $overrightarrow{ extbf{n}}=(k,-1)$
方向向量： $overrightarrow{ extbf{a}}=(1,k)$
x軸上的截距為： $-frac{y_0}{k} + x_0$ ，y軸上的截距為： $y_0-kx_0$
斜截式： $y=kx+b$
斜截式是由斜率k和y軸上的截距b確定的直線方程。
斜率： $k$

法向量： $overrightarrow{ extbf{n}}=(k,-1)$
方向向量： $overrightarrow{ extbf{a}}=(1,k)$
x軸上的截距為： $-frac{b}{k}$ ，y軸上的截距為： $-b$
兩點式： $frac{y-y_1}{y_2-y_1} = frac{x-x_1}{x_2-x_1}$
兩點式是由已知的兩個點 $(x_1,y_1)$ 、 $(x_2,y_2)$ 所確定的直線方程。
斜率： $k = frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
法向量： $overrightarrow{ extbf{n}}=(y_2-y_1,x_1-x_2)$
方向向量： $overrightarrow{ extbf{a}}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$
x軸上的截距為： $frac{x_1y_2-x_2y_1}{y_2-y_1}$ ，y軸上的截距為： $frac{x_1y_1-x_1y_2}{x_2-x_1}$
點向式： $frac{y-y_0}{b} = frac{x-x_0}{a}$

點向式是由已知的定點 $P(x_0,y_0)$ 和方向向量 $overrightarrow{ extbf{a}}=(a,b)$ 所確定的直線方程。
斜率： $k = frac{b}{a}$
法向量： $overrightarrow{ extbf{n}}=(b,-a)$
方向向量： $overrightarrow{ extbf{a}}=(a,b)$
x軸上的截距為： $x_0-frac{a}{b}y_0$ ，y軸上的截距為： $y_0-frac{b}{a}x_0$
參數式： $left{egin{aligned}&x=x_0+at & \ &y = y_0+bt & \end{aligned} ight.$
這裡的參數是t，是點向式的變式，也是由定點 $P(x_0,y_0)$ 和方向向量 $overrightarrow{ extbf{a}}=(a,b)$ 確定的。
斜率： $k = frac{b}{a}$
法向量： $overrightarrow{ extbf{n}}=(b,-a)$
方向向量： $overrightarrow{ extbf{a}}=(a,b)$

x軸上的截距為： $x_0-frac{a}{b}y_0$ ，y軸上的截距為： $y_0-frac{b}{a}x_0$
特別參數式： $left{egin{aligned}&x=x_0+tcosalpha & \ &y = y_0+tsinalpha & \end{aligned} ight.$
這裡的參數是t，是參數式的特例，即以直線的傾角 $alpha$ 為參數。
斜率： $tanalpha$
法向量： $overrightarrow{ extbf{n}}=(sinalpha ,-cosalpha )$
方向向量： $overrightarrow{ extbf{a}}=(cosalpha ,sinalpha )$
x軸上的截距為： $x_0-frac{1}{tanalpha }y_0$ ，y軸上的截距為： $y_0-tanalpha x_0$
點法式： $A(x-x_0)+B(y-y_0)=0$
點法式是由定點 $P(x_0,y_0)$ 和方向量 $overrightarrow{ extbf{n}}=(A ,B)$ 直接確定的直線方程。
斜率： $-frac{A}{B}$

法向量： $overrightarrow{ extbf{n}}=(A ,B)$
方向向量： $overrightarrow{ extbf{a}}=(B ,-A )$
x軸上的截距為： $x_0+frac{B}{A}y_0$ ，y軸上的截距為： $y_0+frac{A}{B} x_0$
截距式： $frac{x}{a} + frac{y}{b} = 1$
截距式是由x軸上的截距a和y軸上的截距b直接確定的直線方程，當然必須要截距不為0。
斜率： $k = - frac{b}{a}$
法向量： $overrightarrow{ extbf{n}}=(frac{1}{a},frac{1}{b})$
方向向量： $overrightarrow{ extbf{a}}=(a,-b)$
x軸上的截距為： $a$ ，y軸上的截距為： $b$
點法式： $xcos heta + ysin heta -p=0$

點法式是由直線與y軸的夾角 $heta$ 與原點O到直線的距離 $p$ ，這裡 $p>0$ ， $heta$ 是直線逆時針轉向y軸的夾角。
斜率： $k = -tan heta$
法向量： $overrightarrow{ extbf{n}}=(cos heta ,sin heta )$
方向向量： $overrightarrow{ extbf{a}}=(sin heta ,-cos heta )$
x軸上的截距為： $frac{p}{cos heta }$ ，y軸上的截距為： $frac{p}{sin heta }$
切線式： $x_0x+y_0y=r^2$
切線式表達的幾何意義是，以原點O為圓心，r為半徑， $P(x_0,y_0)$ 為切點的圓的切線。
斜率： $k = -frac{x_0}{y_0}$
法向量： $overrightarrow{ extbf{n}}=(x_0 ,y_0)$
方向向量： $overrightarrow{ extbf{a}}=(y_0 ,-x_0 )$

x軸上的截距為： $frac{r^2}{y_0 }$ ，y軸上的截距為： $frac{r^2}{x_0}$
直線與直線的位置關係
設有兩條直線 $l_1$ 、 $l_2$ ，斜率分別為 $k_1$ 、 $k_2$ ，法向量分別為 $overrightarrow{n_1}$ 、 $overrightarrow{n_2}$ ，放量向量分別為 $overrightarrow{a_1}$ 、 $overrightarrow{a_2}$ ，那麼則有：
兩直線平行的判定： $l_1//l_2Leftrightarrow k_1=k_2Leftrightarrow overrightarrow{n_1}//overrightarrow{n_2}Leftrightarrow overrightarrow{a_1}//overrightarrow{a_2}$
兩直線垂直的判定： $l_1ot l_2Leftrightarrow k_1cdot k_2=-1Leftrightarrow overrightarrow{n_1}ot overrightarrow{n_2}Leftrightarrow overrightarrow{a_1}ot overrightarrow{a_2}$
兩直線的夾角 $heta$ ： $cos heta =|frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}| =|frac{overrightarrow{n_2}cdot overrightarrow{n_1}}{|overrightarrow{n_1}|cdot |overrightarrow{n_2}|}| =|frac{overrightarrow{a_2}cdot overrightarrow{a_1}}{|overrightarrow{a_1}|cdot |overrightarrow{a_2}|}|$
直線上兩點間距離d（主要用於求解弦長）： $d=sqrt{1+k^2} |x_2-x_1|=sqrt{1+k^2} |y_2-y_1|= |t_2-t_1|$ ，這裡的t就是參數方程中的t，t的幾何意義便是直線上動點 $(x,y)$ 到定點 $(x_0,y_0)$ 的有向線段的數量。