為什麼你的朋友比你更受歡迎——生活中的運籌學【0】

今天要講的一個有趣的現象叫友誼悖論（Friendship Paradox）：平均來說，一個人的朋友數量往往比他朋友的朋友數量要少。這其實是個概率問題，不是很運籌，因此算作【0】。

舉個簡單的例子：下圖中連線的人彼此是朋友，A,B,C,D分別有1，3，2，2個朋友，平均有2個朋友，而我們再看每個人朋友的朋友。A的朋友有3個朋友（來自B），B的朋友分別有1個（A），2個(C)，2個(D)朋友，C的朋友分別有3個（B），2個（D）朋友，D的朋友分別有3個（B)，2個（C）朋友。平均來說，每個人的朋友有18/8=2.25個朋友！

數學上說的話，假如學生i的朋友數量是x_i的話，用FF(i)表示i的所有朋友擁有的朋友數量的話，那麼E[FF(i)/X_i]>E[X_i]. (實際上當所有人都有相同數量的朋友時會取等號，但是現實中幾乎沒有可能）

為什麼會出現這種情況呢？下面是無聊的數學解釋，不想看的可以直接跳到應用部分。

我們用x_ij=1表示i和j是朋友，x_ij=0表示i和j不是朋友，那麼我們首先可以意識到j的朋友數量可以表示為：

而一個人朋友的朋友總數量可以表示為：

那麼一個人的朋友平均擁有的朋友數量就是上面兩式相除了，我們將每個人的平均朋友數量和所有人的平均朋友數量就分別表示為：

其中第二個式子相當於把左右的i的mu(i)相加了，也就是我們在例子中如何得到的18/8。那麼這個式子分子分母同時除以總人數得到的東西就很簡單了：就是一個變數x_i的二階矩除以一階矩嘛！我們知道一個變數的方差是二階矩減去一階矩的平方，並且方差非負。我們假設x_i的期望是mu_F，標準差是sigma，那麼可以得到

因為方差（sigma的平方）大於0，所以朋友的平均朋友數量是嚴格大於一個人的平均朋友數量的！

如果不用數學，而是講道理的話，這是因為那些有很多朋友的人，在計算朋友的朋友數量時會被更多次地被記到，因此會抬高平均數。

其實這個理論對個體而言並沒有太大用，比如最popular的那個姑娘，她的任何一個朋友都沒她朋友多。但是平均而言就不一定了，大部分的人所擁有的朋友就沒有自己朋友的朋友多了。

這個理論不能解釋個體的遭遇，但可以很好的解釋一些事情為什麼傾向於發生（tend to happen）。比如一個學者，平均來說與他合作過的學者會比他更大牛。再比如說，平均來說，一個人的ex數量沒有他ex的ex數量多。所以如果你遇到了反常的情況，那麼第一種可能是你的ex數量已經傲視群雄了，第二種情況，也是更大可能的情況，就是有人在說謊咯。

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