求GLn(Fp)的sylow p-子群個數！?

01-23

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學渣藉機複習一下抽代好了…

令 $G=GL_n(mathbf{F}_p)$ ，簡單的排列組合知識（其實就是一行一行算）給出： $|G|=(p^n-1)(p^n-p)ldots(p^n-p^{n-1})=p^{frac{n(n-1)}{2}}(p^n-1)(p^{n-1}-1)ldots(p-1)$

則 $G$ 的 $Sylow-p$ 子群的階為 $p^{frac{n(n-1)}{2}}$ .

令 $A$ 為 $G$ 中所有對角元為1的上三角矩陣的集合， $|A|=p^{frac{n(n-1)}{2}}$ ，從而 $A$ 為 $G$ 的一個 $Sylow-p$ 子群。

考慮 $N_G(A)$ ，它恰由 $G$ 中所有上三角矩陣的集合給出（可強行驗證），因此 $|N_G(A)|=p^{frac{n(n-1)}{2}}(p-1)^n$ .

由 $Sylow$ 定理， $G$ 的所有 $Sylow-p$ 子群由 $A$ 在 $G$ 中的共扼給出，因此 $G$ 的所有 $Sylow-p$ 子群的個數為

$|G:N_G(A)|=frac{|G|}{|N_G(A)|}=frac{prod_{k=1}^n (p^k-1)}{(p-1)^n}.$

對於求有限群的 $Sylow-p$ 子群個數的問題可以用類似的方法：先找出一個 $Sylow-p$ 子群，然後求其在原來群中的正規化子即可。

以上。