解析複變函數可以有不連續的導數嗎？若可以，間斷點可以無窮多嗎？間斷點處導數如何？

01-23

這個疑惑是在看余家榮編《複變函數》時產生的。課本上說法是：
若設解析函數具有連續的一階導數，根據柯西黎曼條件及格林定理，立即得到柯西定理成立。但是本書打算採用另外一種證法，不設一階導數連續，來證明所謂柯西定理。
補充一下，我這裡余家榮課本上對於解析的定義是：若函數在區域上處處可導，則稱之為在區域上解析；若在某點的一個鄰域上處處可導，則稱之為在某點解析。接下來還有註解：歷史上曾經將可導稱為單演，將解析稱為全純、正則，本書只採用此處引入的術語。

啊…蟹妖ヾ(*ΦωΦ)ツ

復變書上復解析函數的定義一般都是區域內處處可導的函數~(這裡只需要可導就可以啦不需要知道導函數連續)(反正也能證出來)(滑稽)

但是無論是知不知道導函數連續，都可以證出來柯西定理和柯西積分公式，從而得到它處處無窮次可導，甚至處處可以在局部展開成冪級數( ? ?ω?? )?(這個性質可是比無窮階可導強哦~( ? ?ω?? )?)

也就是說，我們證明了，只要複平面區域內處處可導的函數，一定是處處局部可展成冪級數的ψ(｀?′)ψ，從而在區域內，處處可導和處處局部可展成冪級數是等價的www我們把這種函數稱作復解析函數

所以復解析函數碉堡啦(*/ω＼*)

可導就無窮次可導啊啊啊(*/ω＼*)

謝謝你看完我的回答~

要注意解析有相應的域，一般來說基礎是環形，也就是說可以有極點

一旦解析就無窮階可導了，當然也無窮階連續了

碰巧看到，拿手機強答一下。

前面的答主和評論都有提到，實際上，復解析和全純是等價的，所以一定無窮階可微，這自然沒有任何錯誤。

然而從教材敘述的邏輯上，題主所轉述的處理是有其道理的。在我們討論全純函數的性質時，如果尚未得到復解析等價於全純的條件，由於全純只有一個復可導的條件，那麼自然不能斷言全純函數的一階導數連續。而復解析等價於全純是怎麼證明的呢？一般而言是需要利用Cauchy積分公式證明的。既然這裡要證明的是Cauchy公式，那為了避免循環論證自然沒辦法假設一階導數連續。

因此，教材避開用Green公式推導Cauchy積分公式是因為，教材寫到這裡還不能斷言一階導數連續所以Green公式不能用。這也就是為什麼我們所看到的Cauchy公式的證明都如此繁瑣（至少我覺得…確實挺長的）的原因了。

當然，實際上等學完複變函數就不需要在這些東西裡面繞了。既然都知道全純函數一定解析那就不必折騰了。

可以搜一下Cauchy定理的Goursat證明，只需要通過可導這一條件，推出任意階導數都存在

強答……樓上答案珠玉在前，我就隨便說說

答案當然是不可以

首先我覺得你問題問的不對，一般來說對解析函數的定義是每個點局部可以展開成冪級數，或者說泰勒級數收斂到函數值本身，這天然蘊含無窮次可微，而可微函數必然連續所以你的問題 trivially 不成立。

但我猜你想問的是如果一個複函數在每個點都可微那麼導函數會怎樣，在復變中這稱之為全純函數。而複變函數有一個非常非常非常好的性質就是全純等價於解析（實函數中當然不是這樣），而且有非常簡單的判別方法，就是柯西-黎曼方程。對比一下實函數的情況簡直感動哭了。