為什麼說張量積和 Hom 函子是對偶的？

01-23

僅僅是因為這兩個函子具有右正合性與左正合性？但是這裡的左右是怎麼產生的，按我的理解並不是說左右模。我覺得這種正合性的對稱是外在的表現吧，有沒有什麼幾何上的解釋？

試著回答一下這個問題，我覺得這個問題挺好的，因為長期以來看到各種duality,say Serre duality for projective scheme,Grothendieck-Vedier duality for proper morphism，還有在stack上的推廣的定義，在各種equivariant derived category上的duality。題主問的應該是Hom and tensor product的伴隨性（adjunction),我首先試著說下這個東西，他們的adjunction 直接檢查標準定義就可以了。Hom and Tensor product可以說是非常基本的一對adjunction，數學裡很多adjunction都可以看成是這一對adjunction的一般化。比如 $f_*,f^*$ where $f$ is morphism of schemes say, $X,Y$ ,If $Y$ is a point,then $f_*$ is just taking global section of some sheaf,say $F$ ,by adjunction,we can see that $f_*cong Hom(O_X.-)$ ,and in this case, $f^*cong O_Xotimes_k-$ ,for the general situation,these two functors still can be regarded as Hom and Tensor product functor since if you consider locally on affine schemes,they are indeed the case..Then one can define what is called sheaf cohomology which is just right derived functor of $f_*cong Hom(O_X.-)$ ,which is $Ext_X^n(O_X,-)$ ,similarly one can define the left derived functor of $f^*,Lf^*$ .Then,there is adjunction pair $(Rf_*,Lf^*)$ in derived category of quasi coherent sheaves on $X$ .並且，比如Hochshild homology and Hochschild cohomology can also be regarded as Tensor product and Hom functor.

下面來說說對偶，第一個問題是什麼情況下我們有好的dual？最簡單的情形，有限維線性空間，對偶的對偶和本身是同構的，因為是有限維。所以事實上我所見到的establish對偶性的框架里，比如代數幾何，比如表示論里，或者說實際上都是所謂Grothendieck context 里，我們都需要某種有限性來得到對偶，比如對於projective scheme, projective morphism is proper,proper 就是某種有限性的條件，因為proper morphism 保持有限生成的性質。比如Grothendieck Verdier duality or Grothendieck Verdier duality via Brown representability 都要求態射具有某些有限性質，前者是proper，後者是要求 $f_*$ 和任何countable direct sum 交換，這也是一種有限性條件。

更一般地在stack上，可以參考Olsson的三篇文章，要構造所謂dualizing sheaf,也必須要求態射具有某種有限性條件，比如finte type，才能有 $mathbb{D}circ mathbb{D}cong Id$ ，也就是兩次對偶回到本身。比如一個有趣的例子，在表示論里我們考慮從 $H-mod ightarrow G-mod$ 的induction,這個函子就是 $f_*$ ，當 $[G:H]<infty$ （有限性條件，從幾何的角度說，實際上考慮quotient stack $[G/H].$ 是proper的，假設都是代數群，非代數群情形更複雜一點，需要proper的定義）， $f_*=f_!$ 我們可以構造所謂relative dualizing sheaf。

而我們為什麼需要這樣的dualizing sheaf呢，一個直接的應用就是構造 $f_*$ 的right adjoint $f^!:=mathbb{D}_Xcirc f^*circmathbb{D}_Y$ ,特殊的情形比如在projective scheme的情況，D 就是我們的Serre functor.