為什麼可以用極限定義曲線長？

01-22

大一新生，看到了書上用極限定義曲線長，看是看懂了，但有點不理解，為什麼可以這麼定義？小學學的曲線長求法就是把曲線拉成直線，這也符合我們對自然的認識，但這在數學上不好操作，所以就有其他的定義。但這樣定義算出來的是不是對的？換句話說，單位相同的情況下，可不可以證明用極限定義算出的結果與曲線拉長量出來的結果是一樣的？（若我對曲線長理解有誤，麻煩指出來，謝謝。順便，沒有微積分時人們是怎麼計算曲線長的？）
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總有人跟我解釋說，定義就是定義，沒什麼「能不能」云云，我也很無奈啊。可能也因為我之前沒問清楚吧，我再重新表達一遍。定義只用滿足邏輯自洽，但首先這定義得有一定實際用途吧，不然就是純粹的解題遊戲了？我定義1＋1=3，並由此構建一套新的數學體系（舉個栗子，我當然沒那能力），但這麼做有什麼實際用途嗎（還是舉個栗子，也許真的有？錯了別打我）？你用什麼定義曲線長當然無所謂，但這定義與人們的觀測（就是實際中將曲線拉直）是不是相符的？該怎麼怎麼證這定義是與實際相符，有實際意義的？（不要回答我說現在曲線長的極限定義有多大用途，我當然知道，這裡我也沒說它錯啊。我是問這定義剛出時，人們怎麼知道這是對的？）
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－有些人回答說這麼定義就是因為與實際測量相符，所以人們接受了這種定義。首先謝謝你們的回答，我就先這麼想吧，雖然我對這個答案不太滿意。
還有些大佬給出了自己的解釋，但由於我是大一新生，根本看不懂啊啊啊啊啊。。。當然，這是我自己的問題，也謝謝你們的回答。

先留著這個問題，以後懂的多了，再回來重新審視吧。

看到醬紫君大佬關注了問題，瑟瑟發抖。

正在考慮要不要匿名....

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不知道題主說的極限定義曲線長度是不是指這個

$L(f)=sup_{a=t_{0}<t_{1}<t_{2}<...<t_{n}=b}sum_{i=0}^{n-1} ext{d}(f(t_{i}),f(t_{i+1}))$

也有可能和許多高數書上一樣，寫的是另外一個比較簡單的版本。

$S=lim_{Delta s ightarrow 0}{sumsqrt{Delta x^{2}+Delta y^{2}}}$

這個版本就比較直觀了。

水平有限，用下面這個簡單的版本講。

首先題主提到的以曲化直法，必然是正確的。但是我們在實際問題中，很難真正去做到以曲化直，然後拿尺子去量一量。

自然的，另外一個想法就是先微後積法（我一直覺得微積分比Calculus直觀得多，先微再積的思想）。其實我覺得，這個方法也可以叫以直化曲法。

隨便瞎畫了一條曲線

比如要計算這一段曲線的長度。先微：把這一段曲線分成一個個小段。

這是其中的一個小截段。已經很直了，但是還不夠，還是彎的。那麼我們再繼續縮小分割區間呢？

這已經幾乎是直線了，至少肉眼已經看不出彎曲了，但實際上，這段線還是不直的。每次縮小分割區間的長度，線都會變直一點。到什麼時候就是完全的直線了呢？當這段線幾乎接近一個點的時候，也就是分割區間無限接近0。

現在我們來計算一小段的長度。（計算綠色部分的長度）假設這一小段已經是上面提到的」直線「了。

顯然， $Delta L=sqrt{Delta x^{2}+Delta y^{2}}$

下一步，把切割好並算好的一小段一小段加起來。於是就得到開頭提到的：

那麼這個極限是什麼玩意兒？ $Delta s$ 表示的是分割區間的長度。當這個長度趨近於0的時候，這些小線段的和無限接近於曲線的真實長度。

從根號里提出一個 $Delta x$ ，原式就變成了 $S=lim_{Delta s ightarrow 0}sumDelta xsqrt{1+(frac{Delta y}{Delta x}^{2})}$

接著變成積分形式： $S =int_{a}^{b}sqrt{1+(frac{ ext{d}y}{ ext{d}x})^{2}} ext{d}x$

再回到題主的問題。為什麼可以用極限表示。其實這就是這種求長方法的基本思想。當分割區間無限接近於0的時候，所有線段的長度和等於曲線真實長度。

至於最開始的那個 $L(f)=sup_{a=t_{0}<t_{1}<t_{2}<...<t_{n}=b}sum_{i=0}^{n-1} ext{d}(f(t_{i}),f(t_{i+1}))$ ，基本思想相似，只是擴展到歐幾里德空間。對這塊知識，我尚未涉獵，所以無法給你解釋。

簡短的回答就是對於一般曲線，「拉直」這個操作不存在

詳細的講，當你談到「長度」這類度量結構時，一定不可以忘記支撐起該結構的變換群，這裡就是所謂歐氏運動群

如果你想知道一線段 $S = overrightarrow{AB}$ 的長度，最樸素也是最根本的想法就是拿 S 去和一根標準尺 R 去比，也就是讓尺子 R 運動起來使其重合在 S 所在直線並將一端和 S 的一端 A 對齊，然後比較動尺 R" 的另一端 C 和 S 的另一端 B 的順序關係：如果 C 在 A 和 B 之間則 S 長於 R，否則 S 短於 R

自然，使用標準尺 R 可度量的對象 S 是有限制的——必須與動尺 R" 可構成重合關係。用群的語言來說就是：在歐氏運動群中必須存在唯一群元 f ，用 f 作用到 R 後得到 R" = f(R) 使得 S 重合於 R"

如果 S 是折線，那麼推廣是容易的，只需要做有限的若干次運動讓尺子 R 分別重合於 S 的組成線段，然後做有限的加法，這也就是題主所謂拉直

但是對於一般曲線 S，通常並不能找到有限個群元如 f1 f2 f3 來完成上述運動，使得 $R$ 重合於 S，也就說拉不直。替代的想法則是，既然有限個運動做不到那就嘗試無窮個唄，看看能否讓這樣得到的 R" 無限貼近 S；這個思路也就是用極限來定義曲線長度

有興趣可以讀讀數學（第三卷） (豆瓣) ，其中第十七章《抽象空間》講了不少關於變換與度量結構的問題，比如我摘的這段筆記：

《數學（第三卷）》的筆記-第121頁

這是一個好問題。我能想到的原因是：因為把曲線長定義為折線長的上確界是和實際觀測結果相符的。

人們拿一些簡單的曲線，如圓或者拋物線去嘗試，發現用折線逼近的曲線定義得到的結果確實和用其他方式（比如用繩子量）得到的結果很接近，因此逐漸接受了這種定義方式。

有個值得注意的點：相比於曲線長的折現定義法，曲邊梯形面積的積分定義法要好解釋的多。為什麼？因為你很容易接受【任何Darboux upper sum對應的圖形一定把曲邊梯形給"壓"在下面，而反過來任何Darboux lower sum對應的圖形則一定被曲邊梯形給壓住】這樣一個現象。這是因為【若圖形A被包含於圖形B中，則A面積不大於B面積】這件事情實在是太顯然了。所以當darboux upper sum的下確界和darboux lower sum的上確界重合的時候，你沒有理由不相信這個待定義的曲邊梯形面積就是這個確界。但是對於曲線長，就沒有這樣顯然的解釋。

想在定義曲線長之前先數學地定義「拉直」，那你又會遇到新的問題：

如何證明剛剛在數學中定義的的「拉直」和現實中的「拉直」一樣？

無論如何，要在數學內部證明現實對象服從數學模型是不可能的。

我們唯一能做的，就是通過推理證明，把大量的這種「數學與現實的對應」問題，歸結成少數，易於通過物理實驗驗證，最好還符合直覺的幾個問題。

這也是歐幾里得的公理化的含義。

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可以這樣考慮「拉直」曲線l：

連續映射f:l-&>R，滿足

|f(x)-f(y)|&>=|x-y|，對任意l上的點x，y。

則稱f為曲線l的「拉直函數」。注意這樣的函數未必存在。

然後曲線長度就定義為所有「拉直函數」f中，|f(p)-f(q)|的下確界，其中p和q是曲線端點。這個定義需要「拉直函數」的存在。

如果曲線的傳統定義的長度存在，很容易證明這樣定義的長度也存在而且兩者相等。

也許這個定義對你來說更符合直覺…

證明留做習題（跑

用一個R-&>R的無限個點構成的集合，來描述一個連續而可微的函數，我覺得這事兒還挺符合直觀的。

事實上，「為什麼定義」這種問題都是不被允許問的，因為定義就是定義，只要該定義不與其他的公理/定義矛盾，它就具有絕對的正確性。

曲線 $overset{frown} {AB}$ 長的定義，是在曲線 $[left{ egin{array}{l} x = varphi left( t ight) \ y = psi left( t ight) \ end{array} ight.]$ 上任取參變數 $[t]$ 增加時獲得的一系列按指定方向排列的點 $[A = {M_0},{M_1},...,{M_i},{M_{i + 1}},...,{M_n} = B]$ ，並將這些點連成 $overset{frown} {AB}$ 的內接折線 $[{M_0}{M_1}...{M_i}{M_{i + 1}}...{M_n}]$ ，在考慮一切可能的內接折線長構成的集合時，取該集合的上確界作為這條曲線的長。

這說明一個什麼問題？也就是說，曲線的長是有很多種認識方式的。而我們選取內接折線可能達到的長度的上確界，定義為曲線的長。換句話說，他就定義曲線長是一系列短折線加起來的長度，只不過取（可能）達到的最大的和來作為定義罷了。（這裡用可能，是因為上確界不一定在集合中）

在一個定義依賴上確界這樣的極限概念時，它就必然將牽扯到極限。（希望這可以回答你「為什麼用極限來定義」的疑問）容易證明的是，在該定義下，弧微分公式 $[d{s^2} = d{x^2} + d{y^2}]$ 才成立。這是容易用拉格朗日中值定理以及夾擠原理證明的。可以參考《微積分學教程》（第一卷）第248目的討論，我在此不再贅述。

這樣定義的好處是很多的，例如利用一階微分形式不變性，我們可以提出曲線的參數微分 $dt$ ，從而計算曲線的弧長，以及一系列其他的東西。在直觀上，它也具有可操作性：正是因為曲線長是由「內接折線長」得到的，所以在考慮曲線的長度的時候，可以用直線來代替局部的曲線，（希望這可以回答你「用極限定義算出的結果與曲線拉長量出來的結果是否一樣」的問題）這符合微積分在處理問題時一貫的「以直代曲的思想」。

但我要說的是，它同樣也有局限性。

我們來看一下這樣的定義無法衡量怎樣的曲線：

看下圖，首先畫一個線段，然後把它平分成三段，去掉中間那一段並用兩條等長的線段代替。這樣，原來的一條線段就變成了四條小的線段。用相同的方法把每一條小的線段的中間三分之一替換為等邊三角形的兩邊，得到了16條更小的線段。然後繼續對16條線段進行相同的操作，並無限地迭代下去。下圖是這個圖形前五次迭代的過程，可以看到這樣的解析度下已經不能顯示出第五次迭代後圖形的所有細節了。這樣的圖形可以用Logo語言很輕鬆地畫出來。

你可能注意到一個有趣的事實：整個線條的長度每一次都變成了原來的4/3。如果最初的線段長為一個單位，那麼第一次操作後總長度變成了4/3，第二次操作後總長增加到16/9，第n次操作後長度為(4/3)^n。毫無疑問，操作無限進行下去，這條曲線將達到無限長。難以置信的是這條無限長的曲線卻「始終只有那麼大」。

當把三條這樣的曲線頭尾相接組成一個封閉圖形時，有趣的事情發生了。這個雪花一樣的圖形有著無限長的邊界，但是它的總面積卻是有限的。換句話說，無限長的曲線圍住了一塊有限的面積。有人可能會問為什麼面積是有限的。雖然從上面的圖上看結論很顯然，但這裡我們還是要給出一個簡單的證明。三條曲線中每一條的第n次迭代前有 $4^{n-1}$ 個長為 $(1/3)^{n-1}$ 的線段，迭代後多出的面積為 $4^{n-1}$ 個邊長為 $(1/3)^{n}$ 的等邊三角形。把 $4^{n-1}$ 擴大到 $4^{n}$ ，再把所有邊長為 $(1/3)^{n}$ 的等邊三角形擴大為同樣邊長的正方形，總面積仍是有限的，因為無窮級數 $[sumlimits_{n = 1}^infty {{{left( {frac{4}{9}} ight)}^n}} ]$ 顯然收斂。這個神奇的雪花圖形叫做Koch雪花，其中那條無限長的曲線就叫做Koch曲線。他是由瑞典數學家Helge von Koch最先提出來的。

——以上內容來自Matrix67: The Aha Moments。

在上面的曲線長定義下，我們發現：由於這裡的邊都是一系列短直線構成，所以將所有短直線加起來，就可以得到內接折線集合的上確界，也即曲線長——而這裡已經提到了，這樣的長度將趨向無窮。

這樣的事情在現實生活中是存在的。舉個例子，譬如我們要測量一個國家的海岸線長度，就不可以按照這樣嚴格的曲線長定義來測量——因為海岸線的細節是複雜的，它可能存在像這樣的分形圖形，而使「嚴格的」測量結果發散到無窮。但這樣的結果同時又是反直觀的——一個包圍了有限面積的曲線，怎麼會發散到無限長呢？

所以，用上面的那種極限定義曲線長的方式，並不一定能夠得到令人滿意的、直觀的曲線長的答案。我們自然也可以用其他的定義來度量一條曲線——但那是另外的事情了，與微積分學內的討論沒有關係。

P.S.另外，曲面面積的定義十分有趣，希望你到時候也能夠對其進行深入的思考。

P.P.S.我不喜歡討論是先有定義還是先有生活中的實際模型，因為我討論的是數學學科的內容而非數學史；我更不喜歡討論一個定義是不是對的，因為我只關心作為一門依賴公理定義建立起來的學科，它本身邏輯的自洽性；我最討厭的就是在我該強調的內容都強調完了，還有人在最基礎的概念（例如「定義是不是對的」這種問題）上和我爭執不休，所以我關了評論區：）

沒有微積分的時候是怎麼算曲線長呢？

祖沖之是怎麼估算 $pi$ 的？割圓啊。可見人們在沒有微積分的時候用的就是割線逼近的辦法。至於實際生活中大概是貼著曲線剪一段棉線再拉直了量吧。

這其實是個不小的問題。

我們就考慮歐式空間 $mathbb{R}^n$ 中的曲線，要回答你這個問題，其實要先明確很多個問題：

什麼是 $mathbb{R}^n$ 中的曲線？這裡我們可以理解為一個連續映射 $C(t):[0,1] omathbb{R}^n$ 。
（註：這樣的定義不見得就是我們平時理解的曲線。因為通過這樣的定義我們實際上假設了曲線是可參數化的，但是很多我們感興趣的「曲線」是不可參數化的，比如著名的科赫曲線，不過這樣的曲線也往往不能求長。）
然後就是曲線的長，更一般的說，什麼樣的曲線是可求長的，什麼樣的是不可求長的。這個問題的答案就是 @竹生回答里的第一個式子。注意這個上確界不見得是有限的，那麼對於上確界等於無限的情況我們就認為這段曲線是不可求長的，而如果這個上確界存在，就是可求長曲線。
一個可能的誤解是按照這個定義，可能有人會認為一條直線就成了」不可求長「的曲線，這似乎是不確切的，因為我們直覺上認為直線應該是可以求長的，只是長度是無窮。這裡的理解錯誤在於我們以上定義的曲線 $C$ 不可能是無界的：就是說 $C$ 一定能被包裹在 $mathbb{R}^n$ 中的一個球內；原因是 $C$ 的定義域 $[0,1]$ 是一個有界閉區間（緊集）。
這個定義的幾何意義也非常簡單：割線逼近，微積分的基本思想。
現在假設這個映射 $C$ 是（分段）一階可微的，我們又可以有一個定義： $mbox{length of }C=int_0^1 |C$
可以證明在曲線（分段）一階可微的條件下，上式定義的長度與之前上確界定義的長度是一樣的：留做習題。哦，其實這裡還應該證明曲線長與參數化無關，但是顯然上確界的定義里曲線長與參數選取無關，所以如果這裡能證明兩個長度是一樣的，自然也就說明了參數的選取是任意的。
現在回來要說你提的問題，把曲線拉直。」拉直曲線「這句話單獨是沒有意義的，但是要把它在數學上嚴格化就是個大問題了。我這裡提個更加貼近實際操作的問題：如果在現實生活中有兩條繩子，其中一條繩子是細鋼絲做的，一條是麵條做的，你想把它們拉直了測長度。你覺得最後的測量結果里那一個的誤差大？為什麼？
這個問題就需要我們在數學上詳細的定義什麼是」把曲線拉直「以及為什麼」拉直「之後長度是一樣的，沒有拉長或者縮短。要把這個問題講清楚就不是一兩句話的事情了。

其實也是一句話的事情：(以下光滑性都假設至少 $C^1$ )
拉直就是從一個一維黎曼子流形（曲線）到 $mathbb{R}^n$ 中的一條直線（另一個一維的黎曼子流形）的局部等距同胚；既然是等距同胚自然曲線長一樣。
可這句話對大一的新生來說不等於沒有講嗎？
注1：這裡的同胚只可以是局部的，因為要考慮到 $C(0)=C(1)$ 使曲線基本群不為零的情況。但是只要有局部等距同胚，積分所得的曲線長總是一樣的。
注2：為了方便這裡子流形就是一般的嵌入子流形，但這樣卻排除了曲線自交的情況。如果曲線有自交的話，這裡也許應該更一般的考慮帶cusp的浸入子流形（的光滑部分）和直線之間的局部等距同胚。帶奇點的幾何我就不熟悉了，但是只要是cusp的個數有限，那局部等距同胚還是可以保證積分得到的長度是一樣的。直覺上應該有方法能通過把曲線嵌入一個更高維的空間來處理cusp，就好像地上（2維）有一條 $propto$ 形狀的繩子，把它的一端拉起來就得到了一個在三維空間里不自交的曲線。
注3：我顯然已經說得太多了，而且感覺處理一條「一般」的繩子需要knot theory.

看到醬紫君大佬關注了問題，瑟瑟發抖。

決定了，匿名....

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對於光滑曲線，分成幾段之後掰直，可以看到近似效果還是挺不錯的~所以無窮分割之後是符合直觀的。

然後轉化一下語言~得到微分形式的

$ds^2=dx^2+dy^2$

和勾股定理差不多。這個等式的意思是這樣的，左邊的 $ds^2$ 是一個不太好拆開的符號，理解成二維平凡流形上的一個正定度規 $g$ 的重命名比較好。右邊就是簡單的度規在 $mathbb{R}^2$ 標準坐標基下的分解式 $g=g_{mu u}dx^muotimes dx^ u$ ， $dx$ 是流形上的對偶矢量場。如果選取歐氏度規的話， $g_{mu u}=delta_{mu u}$ ，就得到了開始的微分式了。然後要求長度的曲線 $C$ 是一個 $C^1$ 光滑的映射就好 $C:mathbb{R} ightarrow M=mathbb{R}^2$ 。

這樣就有總長度 $s=int sqrt{g_{mu u}frac{dx^mu}{dt}frac{dx^ u}{dt}}dt=int sqrt{delta_{mu u}frac{dx^mu}{dt}frac{dx^ u}{dt}}dt=int sqrt{(frac{dx}{dt})^2+(frac{dy}{dt})^2}dt$

嘛這樣就容易理解了吧~【並沒有

先回答沒有微積分的時候怎麼求曲線長度的問題：沒有微積分的時候絕大多數沒有物理實體的曲線是求不出精確長度的。

比如橢圓周長你可以求一求試試

那麼求不出具體長度怎麼辦呢？這種情況下，我們仍然希望求出他的大概長度，允許有少量的誤差，於是我們把他分成一個個小段，每個小段近似是直線段。分段越細，這個誤差就越小。當分段無限細的時候，誤差會無限小，就是微積分的方法。

小學用曲化直，實際上只是為了便於操作。實際情況複雜得多。

首先實際中沒有理想曲線（沒有體積），所以對任何實體使用曲化直，都會因為物體的物理屬性形成誤差。

而數學中使用的微分法，其實也是曲化直。將曲線在每一個微小段落「直化」成了直線，並且用數字精確描述了誤差。再通微分，讓這個誤差的極限成為0。

所以就「定義」了曲線啊。

之所以不理解，我認為題主還是沒有理解極限的含義。大一新生出現這種疑問也很正常。

建議從各方面去嘗試理解極限、無窮、連續這幾個概念。