為什麼稱可逆矩陣為「非奇異」？

01-22

「奇異」一詞通常指奇特的，特別的。那麼線性代數中「奇異矩陣」、「非奇異矩陣」是怎麼來的呢？它們有什麼奇異之處？

數學上，「奇異」（singular）一詞用來形容破壞了某種優良性質的數學對象。

對於矩陣來說，「可逆」是一個好的性質，不可逆的矩陣就稱為「奇異」矩陣。

字面上看奇異(singular)一詞表示性質不好的情況，比如不可微也被稱為奇異的，參考Singularity (mathematics)

具體而言，在可微的情況下，與奇異性相關的關鍵詞有：零點，極值點，退化。

比如矩陣(方陣)的不可逆，等價於行列式為零或非滿秩，等價於某個線性變換退化，等價於某個微分的"零點"，等價於幾何上的極值點。

所有的矩陣都可看作線性變換，所有的微分都是切空間之間的線性變換。這個奇異性就很好理解了，變換完丟失了東西的情況都是不好的，也就是奇異的。

＠春雨提到可逆與奇異性的等價性問題。我這裡說的自然是域，而不是更一般的交換環。在域上奇異性基本上就等價於矩陣非滿秩(方陣不可逆)。

文言裡面「奇」通「畸」，表示不好的怪異詭異之處。所以舊時候的數學界用「奇」表示「沒有某種好的性質」。比如「奇數」表示不能被2整除的數（成雙成對是好的性質）。

後來變成白話文，「奇」就變成雙音節的「奇異」了。但這個「奇異」（發音同「雞翼」）並不是普通的表示「奇怪、特異」的那個「奇異」（發音同「歧義」），而是表示「發生了某種不好的異變/不具有某種好性質」的意思。很多早期白話文的詞語經過一個世紀，含義已經發生了轉移或程度上的改變，但在專業術語裡面就一直繼承下來了。

再後來不知道誰開始用「非奇異」來翻譯「non-singular」，大概是覺得「奇異」用來翻譯「singular」，所以加個「non"的「non-singular」就直接加個「非」字就好了。這實在是一個差勁的翻譯，實質上等於加了一個雙重否定。本來「奇異」就表示「沒有某種好的性質」，再加個「非」，字面意思就是「沒有沒有某種好的性質」。如果知道這一點，就會發現直接刪除雙重否定，翻譯成「良性」之類的會比較好。這屬於翻譯者不懂術語的淵源，胡亂按照英語構詞法翻譯的敗筆。

有逆矩陣就不單身啦

英文可逆矩陣可以叫Nonsingular，字面翻譯成非奇異。

Nonsingular這個詞在數學其他的地方表示性質很好（相應的奇異表示性質不好），比如稱曲面上的點非奇異如果在這個點曲面滿足一定的光滑性條件。

再說個相關的。有時候稱n元函數向量值在某個點非奇異，一般是說在這個點可微（比較光滑），於是在這個點的導數（雅可比矩陣）可逆（非奇異）。

很多答案都提到了「奇異」一詞是指數學性質「不好」。

線性代數與線性方程組有著千絲萬縷的聯繫。一般地，如果一個線性方程組的係數矩陣可逆，那麼就可以用克拉默法則(Cramer"s Rule)求解。這是一個相當powerful的方法。

反之，在數學探索過程中，人們發現當係數矩陣不可逆時，克拉默法則失效，此時方程可能無解也可能無窮多解，遂稱此類矩陣為奇異矩陣。

滿秩方陣又稱為非奇異矩陣。從線性空間角度講，滿秩方陣非退化的定義Rn空間，因此稱其為非奇異矩陣。

線性代數中定義非奇異矩陣為行列式不等於0的矩陣，也就是滿秩方陣。

那麼，

如果矩陣A為可逆矩陣，則 |A|·|A-1|=|I|不等於0，即|A|不等於0。

如果A非奇異，則A-1=1/|A|*A*，即A可逆。

則可逆矩陣為非奇異陣。

爪機打字，證明只簡單寫一下，後面再補。