Euler示性數可以理解為一種【測度】嗎？或者說這兩者是否能夠有所聯繫？

01-22

剛學的Euler示性數，可能想法不對，不負責任的揣測一下。對拓撲學的問題感興趣，剛開始學，煩請不吝賜教。

可以。Kontsevich的motivic integration。

拓撲上一般情況不知道有沒有類似的概念，對於代數幾何來說，topological Euler characteristic number有很好的性質。最關鍵的兩條是乘積空間的歐拉數就是乘積，以及對於一個stratification，可以直接把各個strata的歐拉數加起來。

滿足類似性質的不變數還有virtual Poincare polynomial等等。Kontsevich由此定義了取值在Grothendieck ring of algebraic varieties里的motivic integration。大意是一種universal的滿足上述性質的不變數。各個strata的motivic class可以看作給出了variety上的某一種測度。當然這跟傳統意義上實分析中的測度沒啥關係，可以看作只是借用積分這個名字。積分的最基本性質無非是可加性而已。

可以，konstevich在數學上的motivation用一句話解釋就是所有拓撲不變數都一定可以解釋為測度。當然真正有意思的情況是非緊的流形上，那麼我們只能在概率測度裡面尋找。

具體到歐拉數上，還是緊流形，一形式，那麼整個picture異常簡單。

就是在所有的橫截向量場上裝備上一個測度然後和自己做笛卡爾積把測度帶過去數交錯和。所謂的鏡像對稱猜想在這種情況下就是對模空間裡面的每個點，就是每個henjie向量場dual成曲線，然後數交點。

poincare hopf公式利用指標定理的證明可以看成上述picture的一部分嚴格化之後的產品。參見witten的論文。

歐拉示性數是一個拓撲空間整體的不變數，測度大致是給每一小塊（可測集）定義體積的方式，這個意義上兩者是不同的。但是可以先看可定向閉曲面的情形，如果虧格至少是2，那麼曲面可以賦予一個常曲率-1的黎曼度量，從而成為所謂的雙曲曲面。這時候歐拉示性數乘以-2pi恰好等於曲面的面積。一般來說，偶數維可定向雙曲流形的體積等於其歐拉示性數乘以一個只跟維數有關的常數，這個結果是Gauss--Bonnet定理的一種形式。奇數維閉流形的歐拉示性數總是零，所以跟任何意義上的體積都沒有什麼關係。如果把閉流形的歐拉數認作de Rham上同調的歐拉數，個人體會還是不推薦把微分形式看成通常意義上的測度這樣的觀點。二者主要區別在於通常意義上的測度要求非負值，（允許取負值的測度有時候叫charge。）歐拉數的本質特點在於取交錯和，所以可能最合理的說法是歐拉數是一種指標。

不能稱為測度，它不是用來測量什麼，更像是一種分類。一定要找個類比的話，它更像維度，一個維度代表了一大類空間。拓撲學裡將這種在某種變化下面保持不變的量稱為拓撲不變數。Euler示性數最初來自於幾何，最簡單那個2=V-E+F，揭示了凸多面體上點，線，面之間的深刻聯繫。然後，故事就變得比較有趣了，因為人們發現，Euler示性數不光對多面體有效，對於一個空間X，你把它扁了，弄光滑了，用某種方式都可以算出來同樣一個數。它可以用不同維度單純形(點，線，三角形，四面體...)個數的交錯和得到，也可以由定義在X上的Morse函數的不同指標的臨界點的個數的交錯和來算，還可以用所謂的betti數的交錯和來算。總之，它反映一個拓撲空間本質的一個特徵。這裡的betti數也是一個拓撲不變數。拓撲學的一個重要目標就是用儘可能少的信息來刻畫一類拓撲空間，這和計算機領域的模式識別想法差不多。至於測度，你把它理解為距離好了，要知道，拓撲空間是不需要定義距離的。