你對函數的理解是什麼？
控江中學（高中）的面試題。隨便談，不限於數學意義上的「函數」。個人認為是對變化的處理（或分析、或歸納）
一些箭頭
函數就是：可以根據輸入來輸出的一種規則。為防挑刺，特此指出，如果輸入不對，可能就沒輸出了。
從英語原詞function來理解，函數就是一個實現某種功能的工具（盒子），用圖表示會更加直觀：
函數就是變數間的相互關係。在現實生活中，就是所謂的「規律」。
作為程序員經常和function打交道，感覺數學函數和程序函數都是一個概念，就是一個現實模型的抽象，數學上的或者程序上的，都滿足各種不同的輸入以獲得結果。其實在我看來這個世界都是各種各樣的『函數』，各種各樣的經驗就是函數，NB的人能用他們應付各種各樣的情況，同時對自己的函數進行修正。。
以下純屬胡編亂造應激扯蛋：
函數，含於數，出於數。一個或者幾個自變數，加上一個變換關係，也許結果可以預知，抑或無法預測。函數就是那個變換關係，有時候我們可以用人類的符號系統來定量表示，但是更多的時候它會超出人類的認知能力。確定的函數是一種規律，規律無法被改變，但是可以被利用，從而創造一個更美好的世界。而不能認知的那部分函數是人類認識的局限，認識具有反覆性、無限性和上升性，認識的局限能夠激勵人類探索的腳步向前，推動科學發展。函數不僅僅是幾個公式或者表格圖像，它是全部的歷史、現在以及未來，是人類全部的希望和輝煌。記得當時初中考試完之後有好多時間，然而當時沒有網路啥的，覺得無聊就想著學點什麼。當時的時候自己手裡有別人留下來得高中數學書，初中數學都一直考接近滿分的，想著高中數學沒什麼難的，就自己看起來。前面都感覺非常簡單牙，但是一到函數那一章節就很蒙。完全不懂，非常困惑。當時也沒那麼發達，沒個地方問這是為什麼。
現在也回憶不起來當時為什麼不理解。似乎就是看到f很陌生，為什麼一個字元f能有那麼大能力，一會讓x 等於1， 一會讓x = 2. 既然f是映射，那麼2反過來對應的x為什麼有時候還不能確定。為什麼這個要是f 表示。現在一些基本概念熟悉了當然不會有這樣的問題。但當時就是不知道，不夠高中之後在課上就很容易理解了。而且後來完全沒障礙。（現在回想起來，應該是小時候接觸的其它知識太少了，除了課堂上掌握的很好，其它的都沒見過也沒學習過。自學新的東西適應力不夠。）嘮叨這麼多，我嘗試從開始解釋下函數的概念。
函數在數學上的定義：給定一個數集A,對A施加對應法則f,記作f（A）,得到另一數集B,也就是B=f（A）.那麼這個關係式就叫函數關係式,簡稱函數.
上面是百度上面函數的定義。從定義上面很容易讓人不理解函數是什麼。因為它是一個嚴格的數學表達，是抽象中的抽象。你會遇到很多難以理解的名詞「數集」，「施加對應法則」，「關係式」，「函數關係式」。後面有「映射」，「自變數」，「應變數」等。光函數這個字都很複雜，不是我們平時看到的西瓜，梨子這麼真切。因為我們見過，吃到過。所以你看到」西瓜「這個詞，我們就知道」哦，就是那個綠綠圓圓帶條紋的，然后里面紅色可以吃的「。然而看到」函數「，感覺只能是」這是什麼鬼！！「
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邪惡的定義：
西瓜（學名：Citrullus lanatus (Thunb.) Matsum. et Nakai）一年生蔓生藤本；莖、枝粗壯，具明顯的棱。卷鬚較粗壯，具短柔毛，葉柄粗，密被柔毛；葉片紙質，輪廓三角狀卵形，帶白綠色，兩面具短硬毛，葉片基部心形。雌雄同株。雌、雄花均單生於葉腋。雄花花梗長3-4厘米，密被黃褐色長柔毛；花萼筒寬鐘形；花冠淡黃色；雄蕊近離生，花絲短，葯室折曲。雌花：花萼和花冠與雄花同；子房卵形，柱頭腎形。果實大型，近於球形或橢圓形，肉質，多汁，果皮光滑，色澤及紋飾各式。種子多數，卵形，黑色、紅色，兩面平滑，基部鈍圓，通常邊緣稍拱起，花果期夏季。
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但是你真的知道西瓜是什麼嗎？ 你如果看到西瓜上面的定義，你也會感覺」這是什麼鬼！！「，定義是一種嚴格的數學表達，要求是邏輯嚴謹自洽。理解要求的是通俗易懂。這就是嚴格定義和理解的差距。要理解函數需要從具體例子，然後不斷自己反問中慢慢習得這個模糊的概念。這個過程實際是一個慢慢將將概念從模糊好具體的過程，當理解到達一定程度就可以總結規律，抽象成定義了。
我們先從理解最簡單地例子開始：
f (x) = x + 1
給定一個x的值，那麼右邊的式子的值為2，那麼f(x) 就是2。f 就是連接1 和 2的一個函數。f除了連接1 和2的關係，也同時可以連接1.1和 2.1等等。
但是你以為你見到上面的例子就理解函數概念了么？沒有！ 比方說你知道西瓜是綠色的，也是圓的。但是給你一個綠色的圓的東西，你就能一定知道是西瓜么？不行！所以你必須多看不同種類的西瓜，也看看冬瓜，南瓜這種相似的物種，然後你西瓜的概念就清晰起來。
函數的種類是很多的，可以是用式子表示，也可以用圖表表示。廣義一點，輸入可以是數，也可以是任何東西。我可以說函數f(x) = 「智商的大小」，x表示人。那麼f就相當於給出對應每個人，即x的智商大小。函數（英文：function），實際就是一種關係的連接，數學上稱之為映射。
也就是說如果你要用非數學的語言，給一個完全不懂數學概念的人講解函數，那麼就給出各種對應關係。慢慢的他腦中就會模模糊糊有一種感覺，好像這樣子就是一個函數。如果真讓他說什麼是函數，那就說不出來。這時候定義就有用了！我們再回顧下函數的概念。
「給定一個數集A,對A施加對應法則f,記作f（A）,得到另一數集B,也就是B=f（A）.那麼這個關係式就叫函數關係式,簡稱函數. 」
那麼什麼是函數，對這樣一個問題，如果是要嚴格回答，就是將上面數學定義說出來。然而這樣說你也不知道自己理解了沒，面試官也不知道你理解沒。那麼你就需要列舉例子。那麼這時候你列舉的例子的水平就知道你對函數概念的理解程度。其實對應的是你見過多少多少種函數，是否理解那種奇怪的對應關係也是函數。平時多理考為什麼，理解了，那麼這些就能在別人問的時候反應過來。
所以你如果回答「個人認為是對變化的處理（或分析、或歸納）」，我覺得你理解有偏差，你見過一些函數，但是僅僅從見過的一點點函數中獲得一點感覺上得認知。你可以看看更多函數是什麼，可以嘗試列舉例子來回答，（更準確說是來思考），這個問題。
上面有一個回答的圖非常好，但這個圖能在你理解了函數基礎上更加強你的理解
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既然高中的時候是必然要重新講解概念，希望不要因為只是不懂這個概念而失去了上高中的機會。
我初中的時候真的是完全不理解函數的概念，所以樓主不需要慌張。看多了自然慢慢理解更深了。
自變數進去，因變數出來就像一個車床，可以」加工「一些東西不過這些東西，可以是數字，變數，甚至是另一些函數，基本上可以是一切東西車床有很多種，每一種都有固定類型的原材料和最終產品一旦車床固定，丟進去任意一種合法的（在定義域中的）原料，就必然會有一種預先設定好的產品出來通過這種加工的過程，自變數和因變數之間就建立了一種關係（映射），但是函數本身並不是這種關係，而是產生這種關係的過程
一個盒子，這邊一個猩猩進去了，另一邊一個人出來了
從數理的方面看，函數是等號兩邊對應關係的統稱。從文史的角度看，要把函數這個詞拆開，函，是古代錢幣的中間的圓孔方孔的名稱，用來穿過繩子之用，所以函字就有連貫聯通的意思，如信函 邀請函，就是一些聯繫用的物件。函數的意思，不言而喻。
反映對映關係 初中對序列的抽象 高中抽象的一種 大學
映射
簡稱「射」這個題出得太無趣了。單單一個函數有啥好說的。
應該這麼問：隨機變數（random variable）是函數（function）么？或者這麼問：說說你對函數（function）、泛函（functional）、運算元（operator）、映射（map）的理解……或許，還可以加上二元關係（binary relation）……嗯哼。個人理解:
函數就是一種對應關係, 稍微具體一點說就是從一個集合(定義域)中元素到另一個集合(值域)中元素之間的對應關係, 這個對應關係必須滿足給定點的對應點是唯一確定的.比如, 函數 f(x)=2*x, 是一個從實數域到實數域的對應關係. 在定義域上找一個點 x, 根據這個對應關係可以找到它對應的那個點就是值域上的 2x, 且此時在 x 給定的情況下, 2x 是唯一確定的.
當然, 定義域和值域不僅僅限於實數域或者其子集, 複數域也是, 甚至任意的集合都可以算. 所以, 如果定義了一種對應關係, 使得我任意給你一條狗, 你能唯一的指定一隻貓與其對應, 那麼, 這也算函數.
至於函數的很多性質, 比如連續性什麼的, 需要其他的附加條件才能給出.口頭描述：
函有盒子的意思。函數就是放進去一個數字後產出一個數字的盒子。ps：這個盒子只能處理數字，產出也只有數字。書面化描述：函數是映射的一種。是實數集X（或其子集）到實數集Y的映射。
它是數到數的變換過程。而映射還有泛函（非空集到數集的映射）就是元素到數，元素不一定是數字。
還有種映射叫變換（非空集X到他自身），元素集合到他本身。
函數是一種特殊的映射；
映射是一種特殊的關係；關係是一種特殊的集合。反正說到底都是集合。