虛數單位i可以被表示為√-1嗎？

01-22

我看過的所有定義都只定義i是方程x^2=-1的根，沒有提及過i=√-1,但根據定義而產生的大概感覺就是i=√-1，之後發現很多人也這麼理解。但我覺得這樣有些問題。
例如，如果i=√-1，那麼i^2=√-1*√-1=√(-1*-1)=√1=1，和定義矛盾；還有1/i就可以表示為√1/√-1=√-1=i，而正確的答案是1/i=i/i^2=-i(高中數學教材上這麼說的)；並且如果把i表示為√-1，那為什麼不能表示為-√-1？
所以我覺得有些不解。

謝邀，不知道題主的知識積累程度，想到啥說啥吧。

先正面回答題主的問題，不會引起矛盾。題主的想法的錯誤之處在於，以為實數變複數是加入了一個「 $sqrt{ }$ 」運算，可以作用在所有實數上（本來只能對正實數作用），並且這個運算滿足 $sqrt{x} imessqrt y=sqrt{xy}$ 。但不是這樣的，實數變複數只是加入了一個i，並沒有加入開根號這個運算，只不過加入i之後我們可以解方程 $x^2=-1$ ，但不意味著對任意數都可以足夠開心地去開根號（題主恰恰證明了，如果引入開根號運算的話，與原本的實數結構是不能相容的）。事實上，對於開根號這個運算，或者我們對所有複數z都強行定義一個 $sqrt z$ ，但這種運算是不連續的，並且不滿足 $sqrt{x} imessqrt y=sqrt{xy}$ ；或者保證上面的等式成立，那麼就不能對所有複數都定義開根號。魚與熊掌不可兼得。
中學裡面那種直接引入一個東西，使得其平方等於-1，然後把這個強行加到我們熟悉的實數裡面去的這種做法確實顯得有點不太友好。一方面，在複數的構造上，我們的目標是造一個可以加減乘除的數域，那麼就可以在 $mathbb R^2$ 上直接定義加減乘除，並驗證交換律結合律分配律，這樣看起來更加有根基一點。另一方面，我們關心的事情是複數帶給我們的好的東西，比如代數閉，那麼像1裡面說的魚和熊掌不可兼得的「問題」就可以不管了（這其實不是問題，而是一件很漂亮的事情）。
在文章中，用 $sqrt{-1}$ 而不是i來表示虛數單位的並不少見，當然了這個跟題主說的原因半毛錢關係都沒有，我想大概是因為i常常被用作求和指標，所以容易混淆。

虛數單位 $mathrm{i}$ 的意義是方程 $x^2+1=0$ 的一個根。

至於到底是哪個，根據伽羅瓦理論，我們無法分辨。

$sqrt{-1}$ 的意義是 $sqrt{}$ 作用在 $-1$ 上，這會造成很多麻煩，不建議這樣理解（事實上也是錯的）。

最好不要這樣表示。或者說， $sqrt{-1} =i$ 的寫法是錯的。

它僅僅是作為形式記號，在字母i已經被使用（包括替代品j也被使用）的情況下藉以描述一下「-1的一個平方根」，除此以外沒有任何運算的意義。

$i$ 指的是滿足方程 $i^2=-1$ 的一個根，至於是哪一個根，並不重要。我們只會用到 $i^2=-1$ 的性質。此外，在複變函數中，一般冪函數（冪指數非整數的情況）是多值的。不信的話我們可以做這樣的公式推導：

$i= (-1)^{1/2} = ((-1)(-1)(-1))^{1/2} =(-1)^{1/2}(-1)^{1/2}(-1)^{1/2}=iii=-i$

$-1=(-1)^1 = ((-1)^2)^{1/2}=1^{1/2}=1$

顯然是不對的。

1.先看一般冪函數的定義： $[{z^alpha } = {e^{alpha Lnz}} = {e^{alpha( ln left| z ight| + iarg z + 2kpi i)}}]$ ，其中k是一切整數。

則：

$[{left( { - 1} ight)^{frac{1}{2}}} = {e^{frac{1}{2}Lnleft( { - 1} ight)}} = {e^{frac{1}{2}left( {ln left| { - 1} ight| + ipi + 2kpi i} ight)}} = {e^{ifrac{1}{2}pi + kpi i}} = pm i]$ 。有的教材自以為開根號能夠解決i是-1的「哪一個根」的問題，最後按照書上的定義倒是弄巧成拙了。

2.指數乘法分配律在複數乘法下也不一定成立。

最初 $x^n$ 指 n 是正整數，它意思是正實數 x 自乘 n 次。由這定義推算，就有了指數運算律。對它們是其他數的適用性還需要證明。先看一下，怎麼從這自乘開始，延拓這個運算的。

把正整數n固定， $x^n$ 仍然定義成 x 自乘 n 次，這叫冪函數。可以把冪函數自變數x的定義域延拓到複數域，定義 $x^0=1$ , $x^{(-n)}=1/x^n$ ，同樣直接從定義就能證明非0複數的整數冪函數滿足指數運算律。從上面悖論等式看到，指數運算律不適用於分數冪函數。所以這方向的拓展到此為止。

把指數運算 $x^y$ 中的 x 固定，限定為正實數，寫成參數 a，式子 $a^y$ 稱為 a 為底的指數函數。從 y 為正整數開始，應用指數運算律和極限運算，可以把正實數底a的指數函數自變數 y 的定義域，從正整數延拓到實數。它也滿足全部的指數運算律。這時它的值域也是正實數，當底數 a 不是 1 時，這函數是單調的，反函數存在，就是對數。當 x 是正實數，y 是實數時，指數運算可以表示為 e 的指數函數的形式： $x^y=e^{y lnx}$ 。

它們已是滿足指數運算律的冪函數和指數函數能夠拓展的極限了。所以二元的指數運算 $x^y=e^{y lnx}$ 只有 x 的定義域為正實數，y 的定義域為實數時，得值是正實數，才有指數運算律。

把 x 的 n 次冪的定義域延拓到包括負數與複數，所遇到問題的本質是在這定義域中，n 次方不是個一一映射，幾個不同自變數值可能對應於同一個函數值，當我們企圖將逆運算限制在某個分支的根，例如用主根，來定義 $x^{1/n}$ 時，指數分配律和指數相乘律，都可能讓不同分支的根在自乘中等同起來。這產生了矛盾。

而在複變函數論中，我們可以允許函數是多值的，其值表示為一個集合，兩個集合間的運算，定義為分別在兩個集合里選取每個元素進行計算，其函數值是所有可能運算結果的集合。等式「=」定義為兩邊的集合相等。

複數z可以用極坐標來表示 $z=r(cos heta + isin heta)$ 。由歐拉公式，這個表示式可以寫成 $z = |z|e^{iArg(z)}$ 。由此可以定義複數指數函數的反函數 $Ln(z) = ln |z| + i Arg(z)$ （ $Arg(z) = heta + 2kpi$ ）。這是將對數函數 ln z 擴展到複數域上的多值函數。注意，它不是延拓，延拓要保持原有變數和函數值的對應不變，將定義域擴展到沒有定義的地方。而這函數當變數是正實數時，並不等於相應的對數值，而是包括著它的一個集合。例如 $ln 1 = 0, ;; Ln 1 = 2kpi = {...,-6pi, -4pi, -2pi, 0, 2pi, 4pi, 6pi, ...}$ .但以此我們可以定義複數域上的指數運算了 $1^{1/2} = exp(Ln(1)/2) = exp(ikpi) = { 1, -1 }$ 。一般來說，這個指數的運算不再保持指數運算律了，只能看成一個多值的函數：不再有指數相加律和指數相乘律了（也即此處等號不再表示數值相等，而應當賦予集合的意義）。指數的有關運算性質在此處只是對（集合的描述法表示）形式上進行一定的化簡。

參考：i的i次方等於多少? - Eufisky - The lost book

科普書可以這麼寫，但嚴謹的做法是規避根號或者聲明分支。

正實數開方，正負兩個根是明顯隔開的。不經過支點零不能轉換。

而複數開方，連續變化之下，兩個根地位平等。不引一條支線不能分開。

所以複數範圍內根號應該看作多值。

符號的問題，樓上Say大神的說法是對的，但是經常遇到書上i和別的符號可能弄混的情況下也會寫成根號負一。

初中數學的定義：

正數A的正平方根記為 $sqrt{A}$ ，哪來那麼多糾結

高票答案說的挺好，但相對很複雜。不知道題主看不看得懂。我說個簡單好理解的方法。

x∧2＝-1 這個方程是有兩個解的。就像

x∧2＝1你知道x可以等於1或者-1

所以上面那個方程的兩個根實際上是-√-1和√-1

i表示的是其中一個根，但並沒有說i一定是哪一個根。所以你最初的定義認為i＝√-1是想當然的，並不能由最初定義嚴格得到。只是大多數時候默認i＝√-1

然後。虛數i是一個已經定義好的符號，有自己專門的意義。他是一個整體，你不能強行把它拆開。你後面推導的i×i＝1就是強行把√-1拆開了。

如果你非要這麼算，應該按照這樣的順序

i∧2＝√-1×√-1＝(-1)∧(1/2)×(-1)∧(1/2)＝［(-1)∧(1/2)］∧2＝(-1)∧1＝-1

你的問題是顛倒了，先算平方再開方。這是很典型的初學者犯的錯誤。

為什麼是個錯誤，很簡單。因為x＝√a可以推出x∧2＝a 但反過來，無法推導。

所以先開方，其結果導向是唯一的，再平方，其結果仍是唯一的。

但如果你先平方，在平方的基礎上去開方。那麼就會導向兩個結果，從而就會得出錯誤的結論。

這應該是主根的問題。

首先我的個人觀點是 $sqrt{-1}$ 應當視為一個針對-1和2的一個運算指令，如果已經規定虛數單位的表示方法，那麼 $sqrt{-1}$ 就不應該作為數字的表示方式繼續出現，而是應當表示虛數單位的符號，即 $i$ 。

至於前面有人討論提到開方的多值性問題，我也想說說我的觀點：

初中的時候，大家在學習平方根的時候，都會接觸一個概念叫算術平方根，算術平方根被定義為一個非負數的正平方根，而根號在這時就表示了這樣的算術平方根。實際上，根據複數的輻角理論，一個複數有多個輻角，其中，處在區間 $]-pi, pi]$ 的輻角被稱為輻角的主值，而凡是涉及到多值性的複數運算，相應的結果的主值也應該對應這個輻角的主值。所謂「算術平方根」應該被稱作「平方根主值」。正數的輻角主值是0°，其二分之一也是0°，負數的輻角主值是+180°，其二分之一正好是+90°，因此，個人認為 $sqrt{-1}=i$ 而不應該是 $-i$ 。

但這裡也帶來一個問題，如果都這樣定義指數乘方運算，那麼只要指數是分數，那麼就都應該取其主值，這樣就會破壞實數和實變函數的一些結論，比如函數

$x=sqrt[3]{t}$

當t&<0時，x的值就是虛數，而實變函數中的x-t圖象就只能包括原點和第一象限的那一部分，這樣就無法讓實變函數和複變函數的理論得到統一。

算術平方根是對正實數進行定義的，考慮 $sqrt{-1 }$ 要在複數的範圍內進行考慮，首先把-1寫成指數形式， $-1=e^{ipi}=e^{i3pi}$ . $sqrt{-1} =(-1)^{1/2}$ 複變函數中 $sqrt[n]{z }$ 是多值函數， $(-1)^{1/2}$ 對應著 $e^{ipi/2}$ (在複平面中模長為1，argz為π/2就代表著虛數單位i)和 $e^{i3pi/2}$ （在複平面中模長為1，argz為3π/2就代表著虛數單位-i）。

我覺得可以把符號系統拿出來單獨討論。就是一個階數為4的循環群

$G={i,i^2,i^3,i^4} = {+,i,-,-i}$

其中 $H={+,-}$ 是 $G$ 的一個正規子群。

我們平時使用的 $i$ 是 $i1$ 的簡寫。

說 $i = sqrt{-1}$ 不如說 $i = sqrt{-}$ 。但是說到這裡還是只是一種表示。因為 $sqrt{-}$ 還有一個解是 $-i$ 。因為 $sqrt{.}$ 這個操作在符號運算中結果不唯一，所以才會導致你得出一個看似荒謬的結果。如果你把符號系統去掉，單純考慮在正實數範圍內使用如上的推理過程是沒問題的。可惜，這不能從正實數的乘法群推廣到有符號系統。

根號只是表示算術平方根。在整個R甚至整個C里，0以外的每個數都是有兩個平方根的。對於正實數，把也是正實數的平方根定為算術平方根；而負實數開個方就到C裡頭去了，怎麼區分正負？所以負實數沒有算術平方根，sqrt{-1}這個寫法有問題。i只不過是-1的兩個平方根之一，單純是一個平方後等於-1的數罷了。

龔昇的《簡明微積分（第四版）》里就用了i=根號-1

......

先定義複數，然後才發現i是 $sqrt{-1}$ ，這樣更加接近複數的數學定義。

可以用√-1表示i 。

但是偶次根號的定義明確的就是非負數的算術平方根，所以這裡的√-1實際上已經符號化了，你後面的各種公式是只在實數範圍內定義的，這些公式不能照搬到複數範圍。

所以你可以用√-1表示i，但是不能運用那些公式。最好是不用這種表示，以免出錯。