極限無窮大和極限不存在，是否等同？

01-22

看高數時，同濟第六版上冊對無窮大的那裡，把函數極限不存在等同於函數極限無窮大，理由是為了敘述方便，而且下面緊跟的習題就是當x趨近於1時，1/（x-1）的極限為無窮大。
原來沒認真學，現在重學時覺得這個很不合理（至少我這麼認為），我覺得極限無窮大可以認為是極限不存在，但極限不存在不一定是極限無窮大。
各位你們怎麼看？

狹義上：

極限無窮大是極限不存在的一種情況。

左右極限不相等也是極限不存在的一種情況。

在正負無窮之間來回震蕩是另一種極限不存在的情況。

總結一下：

第一類間斷點（左右極限值都存在）：

可去間斷點（左右極限值相等但該點無定義）在該點處有極限，左右極限值即為在該點的極限值。
跳躍間斷點（左右極限都存在但不等）在該點無極限。

第二類間斷點（左右極限值至少有一個不存在）：

無窮間斷點（在該點處左右極限至少有一個為無窮大）在該點處極限值為無窮大
震蕩間斷點（在該點處無定義且函數值在趨向該點時在某個區間內來回震蕩）在該點處無極限

廣義上：

極限無窮大是極限值收斂於無窮。

但左右極限不等、震蕩仍判定為極限不存在。

一般的題目中：

如果涉及極限不存在和極限無窮大之間的互推，只要拿出震蕩間斷點或者震蕩函數來驗證一下就好了，比方說 $lim_{x ightarrow 0}{sin 1/x}$

謝邀。極限不存在有多種情況，極限無窮大只是其中的一種。例如一個在正負1之間來回振蕩的數列1, -1, 1, -1, 1, -1 ...顯然沒有極限，但也不是極限無窮大。

和題主類似的經歷

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是這樣的，我們說一個極限不存在，其實是說兩種情況

（1）根本不是cauchy列

（2）是cauchy列，但是極限不在我們的空間里

趨向無窮大，本質上是case（2），因為顯然我們可以換一個度量是的趨於無窮的序列變成cauchy列，但是！在R上討論，無窮大不在這裡面，所以還是不收斂

前面已經說得很好了，我為了降低自己的「被邀請回答」的數字（誤）再來說一下：無窮大是極限不存在的一種情況，除此之外還有左右極限不相等和震蕩等情況。

感謝 @劉江峰的邀請！

答案是否定的，二者不等同。

極限不存常見的情況：

1、左極限或右極限不存在，即趨於無窮，為無窮間斷點

2、左極限和右極限存在但不相等，為跳躍間斷點

3、出現無限次振蕩

無窮是該點極限不存在的一種情況，某一個點極限存在必須滿足左極限和右極限存在且相等。

極限無窮大，叫做「廣義收斂；

極限不存在，叫做「不收斂」；

於是你可以說：（狹義上）極限無窮大意味著不收斂；（廣義上）極限無窮大是表示收斂於無窮。

問主，好好看清書本！人家哪裡把極限不存在等同於極限為無窮大了！！你知不知道人家括弧里加了一句什麼話！！！就第一章第四節講無窮大定義後面的一段話！請抄寫100遍！

總的來說，無窮大是極限不存在的一種情況，按同濟書來說，極限不存在的充要為左右極限不等或不存在

之前我也困惑於同樣的問題，但書中的表達是：

它似乎並沒有說「等同」，而只是說「便於敘述」。按照極限的epsilon-delta定義，極限無窮大嚴格來說屬於極限不存在。因為對於f(x)在x趨近於a的limit，能找到一個epsilon，使得所有的|x-a|&epsilon。

我想你的認識是對的，無窮大是極限不存在的一種，但不是全部，不是互推關係。

不等同。以數列來說，首先數列收斂的反面是數列發散，在數列發散中有一類很特殊，就是隨著n的增大到一定程度時，其後各項的絕對值可以大於任意給定正數，我們把這種情況的發散稱為數列極限趨於無窮大，剩下的數列發散我們才稱為數列極限不存在。函數情形類比可知。

貌似函數的「極限」和我們生活中所說的「極限」是不一樣的

如果以鄰域來定義極限，無窮的鄰域有意義，由此可以定義極限為無窮的量。

這個定義是屬於廣義極限吧。

（謝惠民數學分析習題課講義）