導數/微積分中符號「d」有什麼意義？是如何參與運算的？

01-22

我對它的功能一直不太了解…既然 d 表示所謂的無窮小變化量，那對 d 進行運算又有什麼意義？比如用位移對時間的二階導數來表示加速度，寫成 a = d^2 s/dt^2，看起來這裡分子 d 被平方了，分母 t 被平方了；然而如果詳細寫的話：
v = ds/dt, a = dv/dt = d(ds/dt)/dt = d^2 s/(dt)^2 = ?
在 d·ds 中寫成了 d^2·s，(dt)^2 似乎要寫成 dt^2，這點把我弄亂了...為什麼不寫成 d^2·t^2 呢？求詳解...

感謝邀請

首先來說下微分的定義：設f(x)定義在區間(a,b)上，x∈(a,b),給定自變數x的一個增量Δx，得到函數的一個增量Δy，如果有Δy=f(x+Δx)-f(x)=AΔx+o(Δx)(Δx→0)，則y=f(x)稱在點x可微，函數增量的線性主部AΔx稱為函數的微分，記為dy=df(x)=AΔx

所以d的意義也就知道了

接著說第二個問題：

考察函數y=f(x)，其一階微分dy=f"(x)dx,這時x,dx是獨立變數，即dy是x和dx的函數。

d^2 y=d(dy)=(f"(x)dx)"dx=f"(x)(dx)^2=f"(x)dx^2

這裡dx^2=(dx)^2是一種簡單記法，不要誤解成d(x^2)=2x·dx。在(f"(x)dx)"計算中，把dx看成常數，得到f"(x)dx^2

而dt之類的是自變數的函數，不是常數，需要寫成d^2 t

題主把d看做是「無窮小變化量」是不準確的，所謂「無窮小變化量」是指o(Δx)，即自變數的增量，dx是指自變數的微分，我們一般規定Δx=dx，但只有說明x是自變數時才成立；當x是另一變數t的函數時，如x=φ(t)時，一般就不成立了。比如當x=t^2時，dx=2tΔt。

d^2中的2表示二階

（dt）^2中的2表示二次方，d^2 s/(dt)^2的完整形式是這樣的（d/dt）*(ds/dt)

d是不作平方的，它只是個作微分的符號，標記

一階微分就是d 二階 d^2 三階d^3 ......

d是微分運算元，不能像你說的那樣平方啊什麼的。dx表示x的微分。y是含有x的函數，dy/dx就是Y對x求導數，也可以理解為兩邊同時微分然後把dx除過去的。比如y=x,兩邊微分，得dy=dx，然後dx除過去就是dy／dx=1嘛。你說的二階導數d（dy／dx）／dx就是把dy／dx的結果再次對x求導，就記為d^2y/dx^2，就是一個記號。

如果 Δy=AΔx+o(Δx)，則稱f（x）可微，dy=AΔx，規定Δx=dx

消滅零回復。等高人補充。

哈哈哈，如果dx是線性主部的話，ddx=d^2x 又是啥？線性主部的線性主部？ (dx)^2又是啥？線性主部的平方? d^2x/(dx)^2=0又是什麼?線性主部的線性主部除以線性主部的平方等於零?

...-_-||...本人雖是高冷的數學專業，(數學本科，數學碩士，數學博士)...但大一時的自己也曾被這個問題困擾的死去活來，想來這個問題絕不簡單。所謂高數害死(愛鑽牛角尖的)人，絕非虛言。

大二時有了一個比較好的答案:形式微分。大概是說 dx 是一個泛函(函數的函數) 它把任何一個函數 f 映射為 f的積分值。大三的時候學測度論，發現 dx 是勒比格測度的記號。這在當時是相當讓自己滿意的答案了。

然而明眼人會指出，這樣的答案都只是迴避了問題的實質。題主真正想知道的是，以「dx」為代表的「無窮小量」都是什麼?

(這裡說一下，不是無窮小量 o(x)哦，o(x)是有良好定義的。)

呃，如果一定要現在的我回答，我會回答: 「無窮小量」其實並不是一個數學概念，它不過是一個「玄學概念」。

為什麼說它不是數學概念呢？因為搞數學的人完全就用不到嘛。現在的工具，都是像廣義函數，運算元，泛函，測度，勒比格導數，拉東尼古丁導數這種「完美」「嚴格」的體系。根本沒有「無窮小量」這種(數學意義上)含糊概念的容身之地!

「無窮小量」這種東西之於數學，簡直就像「以太」之於物理一般。

那為什麼高數里還要提到它呢？我認為主要原因是這個概念雖然模糊，但是很直觀啊。光看名字「無窮小量」，就能想像是一個什麼樣的東西: 很小很小的量唄。抓住這個直觀，高數老師就可以「省去大篇大篇嚴格證明的麻煩，來(稀里糊塗地)解釋高等的數學思想了」。

做過幾次助教後，我也明白了。「高數」的目的，絕不是定義清楚無窮小量，而是介紹那些不用「無窮小量」很難解釋的高等數學思想。

要論嚴格的話，非數學專業高數連實數都沒定義清楚就來學極限導數積分。從一開始就不嚴格地叫人難受。

所以少年，沒必要太較真，反正對非數學專業高數基本就是科普: 證明靠背，記算靠練。

舉個例子s等於二分之一at方。ds/dt等於at。d（ds/dt）等於a。d的平方s除以dt就是二分之一at方求兩次導等於a。這樣一來就說得通。所謂dt的意思是以t為基準來求導

關於微分，我覺得不學習微分幾何時難以嚴格講清楚的。