關於微分交換次序，比如d(dy/dx)/dy與d(dy/dy)/dx，出現bug，怎麼解釋？

比如d(dy/dx)/dy，如果交換次序的話，就是d(dy/dy)/dx，這樣後面的式子恆等於0，但是前面的式子不恆等於0，這該怎麼解釋？

比如: y = x^2;

dy/dx=d(x^2)/dx=2xdx/dx=2x;

d(2x)/dy=d(2x)/d(x^2)=2dx/(2xdx)=1/x.

然而如果調換次序，d(dy/dy)/dx就恆等於0了，這樣的bug怎麼解釋？

謝邀。

你對求導交換次序的場景理解有誤。這裡的setup是這樣的：

如果z=z(x,y)是一個性質充分好的可微函數（比如偏導數連續什麼的，數分書上寫的那幾個條件），那麼z關於x,y的兩階混合偏導可交換次序而不改變值。

這裡我們有3個變數， 自變數x,y,因變數z，我們討論的偏導數是因變數z對自變數x,y的偏導數，而因變數z對z自己求偏導這種說法是沒有意義的；除非你再定義一個函數w=w(z)，然後你可以討論w對z的（偏）導數。

很多人對函數的理解就是一個個公式，把求導理解成一個個代數恆等式；但是他們忽略了函數的真實含義。函數是什麼？函數是一種映射；映射是什麼？映射是兩個集合之間的對應關係。每次想到函數的時候，你腦子裡面不應該只浮現出一個表達式，還應該同時浮現出自變數、因變數、定義域、值域；你做求導的時候，腦子裡面要想清楚，我求導的是從哪些變數到哪些變數的函數，我是對哪個自變數求導（偏導數）或者哪個方向求導（方嚮導數）。很多人私信問我複合函數求導之類的問題，我跟他們解釋半天他們也不明白，原因也是他們僅僅把函數看成一個個表達式而不是變數和變數之間的對應關係，結果兩個函數一複合他們的腦子就亂了。其實複雜的計算很多人都會做，因為很多所謂複雜的計算就是按部就班地套用公式計算而已，其實沒什麼難度；反倒是這些簡單的概念性的問題，有些人不停地栽跟頭。

dx這個符號是：在約定y=x的微分中，dx=Δx·(x)"=Δx的。這是為了保證最內層的變數同樣滿足一階微分形式不變性而做出的定義。所以dy/dy=1就是在考慮f(y)=y對y的導數，和你題目里別的東西一點關係都沒有，也和「兩個不為0的相同的數相除為1」更沒有關係，因為它就定義為1。

此外，求導換序這種東西只和高階偏導數有關係(而這就起碼要求一個以x,y為獨立自由變數的二元函數，而你有嗎？)。此外，如果你學過基本的微分學，就會知道偏導數並不能寫作微分之商，利用微分的乘除(甚至你還想用交換律？)來得到任何荒謬的結果都是有可能的。 @Yuhang Liu 的答案並沒有問題，是你沒有認真看還不肯虛心接受。問題已經舉報，民科心態，民科水平。

請自行翻閱babyrudin第九章，然後你估計自發向那個好心告訴你「函數是什麼？函數是一種映射；映射是什麼？映射是兩個集合之間的對應關係。」的答主道歉，就這樣.......

寫下我自己的回答吧。

這個問題我已經想明白了，有些人說「dy/dy沒意義」這個說法是錯的。實際上dy/dy肯定是有意義的，就是等於1。問題在於，我在微分第二步偷換了概念，y=x^2，dy/dx=2x；d2x/dy應該等於0。因為這時候x就不顯含有y了，所以就是0。不能因為x和y的關係再把dy變成dx^2。

為什麼？因為其實所有的微商都源自於微分。我第二步既然要d/dy，微分形式就是要寫出某個數乘以dy的形式，所以dy是不能變形的，這是微分的定義，也決定了微商的定義。dy/dy=1是沒有問題的，和定義域、影射並無關係。

所以，我的答案：d(dy/dx)/dy=d(dy/dy)/dx=0。

最後我希望，回答裡面不要有那麼多高高在上的語氣。我邀請大家來討論，是希望解決問題，大家共同討論進步。也許這個問題太簡單，你不屑於回答浪費時間，那你可以不回答。我是邀請你，不是求著你，更用不著你在這說教、感嘆如何如何。更何況，你也沒給出正解。