二元函數存在各個方向的導數，如果其中兩個方嚮導數在某點連續，能否推出該點處可微？

01-22

重新敘述一下問題， $f(x,y)$ 在點 $P$ 的一個鄰域內具有各個方向的方嚮導數，並且沿其中兩個線性無關的方向的導數在點 $P$ 連續，那麼能否推出 $f$ 在點 $P$ 可微？
背景是這樣的，這是一道大一下數學分析（非數學系）的期中考試題，我估計出題人本意是想follow著名的偏導連續蘊含可微這個命題的證明，然後把x和y方向的偏導連續換成了兩個線性無關的方向，這對於大一的學生來說可能比較不好想，但如果學了多年數學的話，這就是一個坐標變換的事，完全可以假設這兩個方向就是x的正方向和y的正方向，這一點上並沒有什麼困難。
但是現在碰到的困難是，方嚮導數是有「方向」的，也就是說條件只能對正方向求導，相當於一元函數的語境下只能求單側導數，這個就不知道怎麼處理了。現在甚至不知道 $f$ 在點 $P$ 是不是連續的，事實上我們有反例可以說明單獨方嚮導數存在不蘊含連續。所以這個命題是不是對的？有沒有反例/證明？先謝過了。

補充：我看到的方嚮導數的定義是這樣的：設 $f$ 是定義在 $(x_0,y_0)$ 的鄰域上的函數， $f v=(cosalpha,sinalpha)$ 為一個方向，如果極限
$lim_{t ightarrow 0+}frac{f(x_0+tcosalpha,y_0+tsinalpha)-f(x_0,y_0)}{t}$ 存在，則稱此極限為函數 $f$ 在點 $(x_0,y_0)$ 沿方向 $f v$ 的方嚮導數，記為 $frac{partial f}{partial v}(x_0,y_0)$ .
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總覺得回答自己的提問很傻X，還是寫在問題描述裡面吧。基本上就是按照余翔的思路來。首先，考慮單側可導的一元函數，我們有

prop1 若函數 $f$ 在閉區間 $[a,b]$ 上連續且存在右導數，並且右導數大於零，則 $f$ 嚴格單調遞增.
這個的證明其實可以很初等. 由此，我們得到單側導數的Rolle定理：
prop2 若函數 $f$ 在閉區間 $[a,b]$ 上連續且存在右導數，且 $f(a)=f(b)$ ，則存在 $xi_1,xi_2in[a,b)$ ，使得 $xi_1$ 處的右導數非負， $xi_2$ 處的右導數非正.
進而有單側導數的Lagrange中值定理：
prop3 若函數 $f$ 在閉區間 $[a,b]$ 上連續且存在右導數，記 $k_{ab}=frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ ，則存在 $xi_1,xi_2in[a,b)$ ，使得 $xi_1$ 處的右導數不大於 $k_{ab}$ ， $xi_2$ 處的右導數不小於 $k_{ab}$ .

作為一個推論，可以得到余翔提到的定理
prop4 若函數 $f$ 在閉區間 $[a,b]$ 上連續且存在連續的右導數，則 $f$ 在 $[a,b)$ 上可導且導數連續.
回到本題，其實得到最後的結論不需要假定原題中的 $f$ 連續，只需要 $f$ 在 $P$ 附近的每條水平線和豎直線上連續即可，這樣的話，把 $f$ 限制在 $P$ 附近的水平線和豎直線上，就得到了連續且存在連續的右導數的函數，利用前面的引理，可以推出 $P$ 附近每一點水平方向的左導數也存在並與右導數相等，所以 $f$ 在 $P$ 附近可偏導且偏導連續，從而可微。
而原本題目里給出的條件蘊含了這一點，因為 $f(x,y)$ 在 $P$ 的一個鄰域內具有各個方向的方嚮導數，從而沿坐標軸的負方向也是可導的，那麼就是說限制在水平線和豎直線上後，每一點的左右導數都存在，從而連續，滿足之前的條件。因此這個命題是對的……

如果假設 $f$ 是連續的，那麼命題成立。可以參考MSE上的帖子：Continuous function with continuous one-sided derivative，我們有下面的定理：

定理設函數 $f:mathbf{R} omathbf{R}$ 連續，並且右導數 $f$ 也在 $mathbf{R}$ 上連續，那麼 $f$ 是連續可微的。

關鍵的引理是

引理設函數 $f:[a,b] omathbf{R}$ 連續，設右導數 $f$ 存在並且 $[a,b)$ 嚴格大於 $0$ ，那麼 $f$ 是嚴格單調增的。

證明的概要：採用反證，如果 $f$ 不是嚴格單調增的，那麼可以遞歸地定義一個嚴格單調增的函數 $g:mathbf{Ord} o [a,b)$ （因此 $g$ 是單射），這裡 $mathbf{Ord}$ 表示所有序數的類，由於 $mathbf{Ord}$ 是一個真類，所以它不能單射地嵌入 $[a,b)$ ，因此我們得到了一個矛盾。（這裡引理不使用序數也可以證明，請見 @Song Tang 的回答）

然後類似地證明關於右導數的Rolle定理，Lagrange定理，最後得到如果右導數連續，那麼函數是可微的。

回到問題，我們可以假設 $f$ 在方向 $m{e_1}=(1,0)$ 和方向 $m{e_2}=(0,1)$ 有連續的方嚮導數（這裡對方向 $m{v}inmathbf{R}^2$ 的方嚮導數指的是 $extstyle D_{m{v}}f(m{x_0}):=lim_{h o 0^+}frac{f(m{x_0}+hm{v})-f(m{x_0})}{h}$ ），根據上面的定理，我們有 $extstyle frac{partial f}{partial x}(m{x_0})=D_{m{e_1}}f(m{x_0})$ 以及 $extstyle frac{partial f}{partial y}(m{x_0})=D_{m{e_2}}f(m{x_0})$ 對於所有的 $m{x_0}inmathbf{R}^2$ ，根據假設 $D_{m{e_1}}f$ 和 $D_{m{e}_2}f$ 都是連續的，所有 $f$ 有連續的偏導數，所以 $f$ 可微。

如果不假設 $f$ 是連續的，沒有找到類似的證明，我感覺應該是有反例的。

應該是可以的，保證函數本身在此點連續性的情況下。

注意反過來就不行，各個方向上的方向倒數都有也不能保證連續性。

按這個方嚮導數的定義（就叫它「右方嚮導數」吧），沿-v方向的右方嚮導數，就等於沿v方向的「左方嚮導數」了（當然會差個正負號）... 這樣沿著向量v/-v截取到的一維函數在P點的左/右導數都存在，那麼這個一維函數必然在P點連續... 也就可以得到 f 對 x、y 偏連續... 而有人提到的二維全連續條件，其實不需要吧...？

前面回答評論中我說的做法

命題人大概是想學生將增量(Delta x,Delta y)分解到那兩個方向上.但是可能只能得到在係數均為正的那個角形區域成立可微定義的那個表達式

原因就是那個方嚮導數那裡定義要求t只能從正的一側趨於0.

不過說回來這個命題本身是否正確可能不那麼簡單。構造反例很多時候都不是容易的事

實變函數中有下面結論.閉區間上的連續函數f的一個dini導數若在一點連續

(dini導數有4個.左上導數,左下導數,右上導數,右下導數)

那麼其它3個也在這一點連續且f在這一點可微.

回到本題.如果這個二元函數在這一點一個鄰域內連續且存在兩個線性無關方向的方嚮導數

利用上面的結論(沿著方嚮導數所規定的方向,f視為一元函數那麼方嚮導數就相當於一元函數的單側導數)

那就可以得到f的可微性

但是這些內容都超出數學分析課程所教了