研究模的意義是什麼？

01-22

最近在看交換代數，不太明白為什麼要把對象集中在模。或者說交換代數主要解決的是什麼問題啊？

是問這個答案吧~~不知道為什麼答主離開了。。也不知道為什麼我點保存網頁的時候裡面有張圖沒保存下來。。

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從cache里找到了那張圖

作為以前學過一點的外行，說一下自己的理解：交換代數那一套是服務於代數幾何的（以及數論，不過數論本來就和抽象代數幾何密切相關，比如數域可類比函數域，後者又對應於代數曲線）

所以什麼環啊模啊張量積啊都是學一點代數幾何才能明白其背後的動機的

最具體的例子，A^n上的代數函數不就是n元多項式環嘛。但P^n上就只有常數（類比解析情形的劉維爾定理），沒什麼意思。如果考慮只在局部有定義在其他地方可能有pole的有理函數，就比較有意思了。這就引出空間上的line bundle和divisor的概念。可以用來研究空間的幾何性質。而這些對象是定義為sheaf of modules而不是sheaf of rings，比如最簡單的Serre"s twisting sheaf是通過把多項式環的分層(grading)給shift一下來構造的，這使得它成為一個分層模而不是環。

然後就是數學家最喜歡做的一般化了。比如多項式環推廣到一般環就對應於affine scheme。而一般的scheme就是局部體現為affine scheme的幾何對象，類似於流形局部體現為歐式空間。而scheme上的sheaf of finitely generated modules (coherent sheaf)可以看成vector bundle的推廣等等。一般的情形下要理解這些對象就需要交換代數。當然你要問這種一般化有用嗎？聽說數論里是有用的。但再深的我就不懂了