微分，差分和變分的概念有什麼異同？

不是很明白。望指教

微分：是當自變數x變化了一點點（dx）而導致了函數（f(x)）變化了多少。

比如，國民收入Y=f(c)，c是消費，那c變化了dc時，會導致Y變化多少呢？變化dY，這就是微分，而dY/dc就是這個單變數函數的導數。把微分dY視為dx的線性函數，那麼導數就是這個線性函數的係數：注意，這個視角甚至可以推廣到微分流形、泛函，等你以後深入學習到更高的層次就會知道，在這裡打個伏筆。

差分：粗糙地講，就是離散化的微分，即y。當變化量很微小時，就近似看成dy。

變分：應該是指泛函的變分吧，這裡就不扯什麼functional analysis里的banach空間微分理論了，簡單說下，泛函是將函數空間映射到數域，就是，把一個函數映射成一個數。打個比方，從A點到B點有無數條路徑，每一條路徑都是一個函數吧？這無數條路徑，每一條函數（路徑）的長度都是一個數，對吧？那你從這無數個路徑當中選一個路徑最短或者最長的，這就是求泛函的極值問題。有一種老的叫法，函數空間的自變數我們稱為宗量（自變函數），當宗量變化了一點點而導致了泛函值變化了多少，這其實就是變分。變分，就是微分在函數空間的拓展，其精神內涵是一致的。求解泛函變分的方法主要有古典變分法、動態規劃和最優控制

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時隔很久，回知乎看了一下，樓下有關「變分」的回答是錯誤的，居然還有很多人回復說「豁然開朗」。都給我看下圖：

坐標軸里三條黑線叫做函數，這個都知道，函數是把n維空間的一個點映射成一個數！

圖片里虛線對應的映射是泛函！看清楚了，泛函的取值取決於系統的整體路徑，泛函將整條路徑映射成一個數！也就是說，原來的函數X(t)成為了泛函的宗量X（自變函數），t從此以後退化為參數！不能再叫泛函的自變數了！泛函的自變數是函數整體！函數整體！是整個路徑的變化！樓下說「變分是函數關係發生微小變化而自變數不變時引起因變數的變化」這個理解是錯的，因為這個時候自變數已經退化為參數了，它變不變無所謂！

我建議數學功底好的同學親自去看看《非線性泛函分析》的書，數學實在不行的同學，仔細看看有關變分法或最優控制理論的書籍！建議在校同學有條件的最好自己多去圖書館看看，盡量少花時間在網路上問問題。

知乎上貌似不好插公式，利用WORD寫了個答案，貼圖

簡單來說

微分就是 dx

差分就是Δx

也就是說微分是差分的線性部分。

至於變分，是泛函的微分。

微分：

表示微小變數dx、△x都屬於微分

差分：

△f(x)=f(x(i+1))-f(x(i))

微分和差分的關係就像函數與數列的關係，函數值是連續的，而數列是離散的。

變分：

泛函的定義域為一個無限維的空間：曲線的空間。

泛函的增量的線性部分稱為其微分。泛函的微分又稱其為變分，其中微變數h（δq）稱為曲線的變分。

——《經典力學的數學方法》

簡單的說，泛函是一種特殊函數，其定義域為函數f(x)，值域一般為實數，正常的函數（值-&>值）到值的映射，而變分即泛函的微分中（注意不是導數）捨去了無窮小項O（h^2）的剩餘線性部分項。