球面上落四個點，第四個落在前三個點圍成的曲面三角形內部的概率是多少？

01-22

四個點都是隨機落下
原題目是

求球面上任意四個不重合點組成的四面體包含球心的概率
我想了之後就轉化為這個題目了
(應該是等價的吧，有錯誤請指出，謝謝)

把前三個點關於球心的對稱點也找出來，一共6個點，它們可以形成三個大圓，將球面分割成對稱的8份，其中一個是最初的曲面三角形，第四個點會落在這8個中的一個上面，所以概率為1/8

化用了自己的回答……

靈劍：求球面上隨機均勻分布的三點所圍的球面三角形的面積的期望？

一般來說說在球面上隨機取點，是有必要說清取的方法的，不過在這裡只要滿足概率密度中心對稱就夠了。

@靈劍解釋的很好了，同意答案是1/8

這裡解釋一下為什麼題主認為

」球面上任意四個不重合點組成的四面體包含球心的概率「

等價於

」球面上落四個點，第四個落在前三個點圍成的曲面三角形內部的概率「

因為乍一看會覺得完全沒什麼聯繫：四面體要包含球心，顯然是個比較大的四面體；而球面上第四個點落在前三個組成的三角形里，這個三角形可是多小都可以的。怎麼可能是一回事？

因為四面體若想包含球心，假設先確定三個點，那麼先找到這三個點關於球心的對稱點，那麼第四個點必須落在對稱點組成的新三角形里，這樣圍成的四面體方可包含球心。而新三角形是老三角形的鏡像，大小是一樣的。

所以二者的確等價。

=======================================

還不清楚的話，考慮一下二維的情況就明白了：

圓上隨機落三個點，組成的三角形圍住圓心的幾率？

等價於

圓上先隨機落兩個點，第三個點落在前兩個點圍成的小弧中的幾率？

(答案是1/4)

可以看看這個視頻

https://m.bilibili.com/video/av17275211.html

今天剛在b站看的....沒想到大家都知道了

你這個轉化不嚴謹，說實話按三角形的定義，第四個點無論如何都是落在三角形中的……因為三個點直接將球面劃分成兩個施瓦茨三角形……

參考一道美國數學競賽題的解法，有講的非常詳細的視頻（方法很有啟發性，非常簡單）：

【官方雙語】如何優雅地解答最難數學競賽的壓軸題？_趣味科普人文_科技_bilibili_嗶哩嗶哩

將該問題中的「對面的點」改成「這一側的點」，就是這個題的答案了。

所以，答案是八分之一。