線性代數中，"秩"的命名由何而來？

01-22

為什麼"秩"的概念如此特殊，以至於在漢語中取這樣一個單字"秩"為其命名？況且漢語中"秩"字本身並沒有與線性代數中這一概念相關的意思。歷史上誰第一次將其稱為"秩"？

rank，即次序、序列

翻譯成中文是秩，秩這個字也是次序、順序的意思。

我們可以認為一個矩陣的秩，是給矩陣按質量排序的依據。

秩越高的矩陣內容越豐富，冗餘信息越少。秩越低的矩陣廢數據越多。

部分內容可能中文線性代數課本沒有，可以參考高等代數。中文術語不熟，如有錯誤敬請指教。

英文：rank

法文：rang

日文：階數

中文：秩

先說說它的一些等效定義：

對於一組向量，它們的秩等於以它們為基底生成的子向量空間的維數；

對於一個從向量空間 $E$ 到 $F$ 的線性變換 $f$ ，它的秩等於 $f$ 的像即 $f(E)$ 的維數，特別地還有秩－零化度定理： ${ m rank } f+{ m dim,} ker f={ m dim, } E$

$f$ 轉寫為矩陣的話，該矩陣的秩等於 $f$ 的秩，也等於矩陣的行向量組的秩；

線性方程組的秩……因為線性方程組都可以寫成矩陣形式……

可以看到秩的定義與維數是密切相關的，因此也就有高低次序的含義在其中了。此外我懷疑這個詞也是照抄日文的術語而來的。比如職階和職秩就是同義詞嘛……

秩沒什麼特殊的，我覺得還是行列式這個詞比較特殊，英文叫determinant，法文叫déterminant，一點都看不出來和中譯名的相關性。這個詞是和日語學的，可是人家日語裡邊矩陣叫做「行列」啊……而且 $det$ 在實際運用中如此重要，為什麼不起個霸氣點的名字……

矩陣的秩的概念是由Frobenius在1879年引進的，在論文Jour.für Math.,86,1879,146-208=Ges.Abh.1,482-544.中，他原話翻譯過來是，「如果一個行列式的所有r+1階子式為0，但至少有一個r階子式不為0，那麼就稱r為行列式的秩(rang）」.這是現在數學中秩的等價定義了。

特彆強調，rang不是我打錯了，Frobenius是德國人，所以這是德語，意思是：等級，分類，階層，（劇院）樓座.

中文秩的意思：本義，根據功過確定的官員俸祿；引申義，根據功過評定的官員品級；在引申，次序。

而英文rank的意思：階層，等級，軍銜，次序，順序，行列。

所以我們大體可以推斷出，翻譯成秩的人，主要是想表達等級的意思。而不同矩陣的秩有大小，就相當等級的高低了。

秩的大小的比較是會經常用到的，從判斷線性方程組是否可解，解是否唯一，到判斷函數的正則值，臨界值，映射是浸入與否。所以秩所隱含的用於區分和比較大小這一意義，是翻譯的比較恰當的。

我沒有查到是誰翻譯的秩這個名詞的，所以以上全是推測，希望有知友知道的話告訴我。手機打字，標點的全形半形不規範，請見諒。

參考文獻：

1.M.克萊因，古今數學思想（三），上海科學技術出版社，1980.

2.Katz，V.J.，數學史通論，高等教育出版社，2004.

3.F.克萊因，數學在19世紀的發展，高等教育出版社，2011.

rank直譯不就是「秩」？你應該問英語裡面為什麼給這個特徵值起名叫rank才對。

個人理解為「規範度」，即矩陣被限制的程度。把矩陣每行都視為一條方程後得到的方程組（最右一列是you的參數）在矩陣滿秩時有唯一解，這個時候矩陣被約束到只有「一個點」。秩降低時，方程組解集也就變大，從線到面，到多維的解空間，維數正好是（矩陣列數-秩）。

矩陣的秩可以理解為矩陣信息的等級劃分，秩從某種意義上講反應了矩陣內個元素的相關性，秩越大，元素間相關性越小，每個元素代表的意義越不相似，整個矩陣蘊含的信息量就越大。

秩越小，元素的相關性就越大，元素間的相似度越大，冗餘信息就越多，整個矩陣的信息量其實就越小。

這個時候矩陣的秩其實可以從某種意義上說，能代表和區分一個矩陣的等級（在信息量上）。秩從某種意義上來說自然是一個簡單的好詞了。

rank譯為秩序，又如跡即主線元素之和trace譯為痕迹....

矩陣是用來體現系統信息的，同意第一答案中所說「秩越高的矩陣內容越豐富，冗餘信息越少。秩越低的矩陣廢數據越多。」

矩陣的"秩"指的是他的列向量所張成空間的維度. 這是我認為最直觀的理解了.

舉個例子如果一個22矩陣秩為1, 他的意思就是說: 這個線性變換將一個2維空間壓扁成了一條線, 一個一維的空間所以秩就是1.

從字義上看，原名rank，字面上可以看出有等級，次序的意思，和中文的秩是不是有點聯繫呢。:D

從線性代數的具體形象來看，det(A)=0時，這個矩陣變換會使空間壓縮到更低的維度。

比如一個三維的矩陣，

當空間壓縮為一條直線時(3-&>1)，此時rank=1;

當空間壓縮為一個平面上時(3-&>2)，此時rank=2;

當空間變換後還是3維，此時rank=3，且det(A)≠0，也就是我們說的滿秩啦/( ˙ ? ˙ )&>

最後，總結，秩就是你的矩陣變換後空間的維度。

通俗來講，矩陣的秩就像是一種特徵，衡量矩陣元素之間相互作用程度的大小，作用程度越大，秩越小，反之越大。數學上，當一個矩陣的n階子式不為零，而n+1階子式全為零時，我們就稱它的秩為n。

有點像不能約分