如何證明無界函數在閉區間不是黎曼可積的？

01-22

考慮函數定義在 $[0,1]$ 上的函數 $f(x)$
$f(x)=0$ $x=0$
$f(x)=frac{1}{sqrt{x} }$ $xin (0,1]$
可知 $f(x)$ 在 $(0,1]$ 的瑕積分 $int_{0}^{1} f(x)=lim_{u ightarrow 0^{+}}{int_{u}^{1} f(x)} =2$ 收斂。瑕積分是反常積分，假設我們還不知道反常積分，考慮 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的「正常」積分，也就是閉區間上的黎曼積分。
$f(x)$ 在 $[0,1]$ 上黎曼可積嗎？根據可積函數的基本定理，在閉區間上黎曼可積的函數一定有界，所以 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 不是黎曼可積的，但現在想不用這個定理，根據黎曼積分的定義來說明 $f(x)$ 不可積。

黎曼可積的定義
設閉區間 $[a,b]$ 上有 $n-1$ 個點，依次為
$a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<...<x_{n-1}<x_{n}=b$
它把 $[a,b]$ 分成 $n$ 個區間 $Delta _{i}=[x_{i-1},x_{i}],i=1,2,...n.$ 這些分點或這些閉子區間構成 $[a,b]$ 的一個分割，記為
$T=$ { $x_{0},x_{1},...x_{n}$ }或{ $Delta _{1}, Delta _{2},... Delta _{n}$ }
小區間 $Delta _{i}$ 的長度 $Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}$ ，記為
$||T||$ = $max$ { $Delta x_{i}$ } $1leq ileq n$
設 $f$ 是定義在 $[a,b]$ 上的一個函數， $J$ 是一個確定的實數。若對 $forall varepsilon >0$ ， $exists delta >0$ 使得對於 $[a,b]$ 的任何分割 $T=$ { $Delta _{1}, Delta _{2},... Delta _{n}$ }，以及在其上任意選取的點集{ $xi _{i}$ }( $xi _{i}in Delta _{i}$ , $i=1,2,...n$ )，只要 $||T||<delta$ ，就有
$|sum_{i=1}^{n}{f(xi _{i})Delta x_{i}} -J|<varepsilon$
則稱函數 $f$ 在閉區間 $[a,b]$ 上黎曼可積；數 $J$ 稱為 $f$ 在 $[a,b]$ 上的定積分或黎曼積分記作

$J=int_{a}^{b} f(x)$
如何證明上面的 $f(x)$ 不符合這個定義？，要用 $varepsilon -delta$ 語言來證明。