關於逆映射定理的證明？

書上第一步是要證明f是單射，為此定義了一個函數和一個常數，由此估計f的增量。這種證明令我十分困惑，因為完全想不到構造的理由，沒辦法自己獨立證明。

想知道這個定理有沒有更加自然的證明呢？或者是高觀點下的理解？

謝邀： 我認為的最「自然」的也是「高觀點」的理解方法，是把「逆映射定理」看成是「隱函數」定理的特殊情況，而隱函數的定理證明是非常自然的 (如果你學過不動點原理): 對於函數 ,設 ,不妨認為 構造一個映射 , 利用壓縮映像原理可以證明在 附近的點 一定存在 的不動點 , 也就是 ，所以我們總可以找到 使得 ，然後利用 本身的正則性，我們可以發現 是一個連續可導的函數, 也就是正則化的提高。這個過程只需要用到它是「不動點」這個性質就好了。rudin的書上的處理方式是直接把這個思路用到了證明逆映射定理，然後用逆映射定理證明隱函數定理。

現在我（不精確地）總結一下為什麼這個思路自然：第一，只要是不動點，你就一定可以提高它的正則性，第二，為了找不動點，最自然的構造 。這個思路的厲害之處在於，你可以無縫地把這個結論推廣到無限維空間中，下面是一般的形式：

大部分教材中的證明都是千錘百鍊的，你想不到也是正常的，重點是你要去細細揣摩。

這裡的結果來自張恭慶院士的"methods in nonlinear functional analysis"

隱函數定理是一個非常根本性的「定理」，它和pde中的「連續性方法「這種最基本的思路是息息相關。所以，大部分非線性分析的第一章就需要介紹這個定理。