用分離變數法來解PDE的合理性何在？

01-22

為什麼能夠用分離變數法來解的heat equation, wave eqation等，它們的解都能被寫成時域函數和空域函數的乘積的線性組合呢？是這些方程的解一定擁有這樣的性質，還是說我們只是用分離變數法來找出符合這一特性的解？

謝邀：我就兩個層面來回答這個問題，第一個是技術層面，第二個是本質層面，從運算元層面來回答這個問題。從這個層面來看，分離變數只是運算元性質的自然結果，也就是說如果微分運算元是某種正規運算元，那麼變數分離是一定有效的。

1。不管是熱方程還是波方程都可以寫成下面的情況, 就算是時間上的二階也可以通過引入一個「矩陣」運算元寫成一階的方程：

$u$

最簡單的兩種情況如下：

「分離變數法」包含了幾個重要的知識，首先線性方程的解的線性組合還是解。第二個是，初始值所在空間 $X$ 有某個「完備的正交基」，也就是能找到 ${e_i}$ 使得它們把可以把初始值寫成

如果對於任意初值 $u_0=e_i$ ，原方程存在解可以寫成

也就是「可分離」，那麼一般的解就是

第二個層次：一個如上方程一般可以對應一個運算元半群。具體來說

最後的問題來了，什麼時候運算元 $A$ 有一組完備的不變正交基呢？線性代數告訴我們，一個normal的運算元，也就是正規矩陣是這樣（當且僅當）。在無限維空間也是這個情況，可以定義正規（無界）運算元，這類運算元總是可以找到如上的正交基分解。所以，分離變數法的根源之一在於運算元 $A$ 是某個空間中的正規運算元。特別的，熱方程中這個運算元叫對稱運算元 $A^*=A$ ，波方程中這個運算元是反對稱運算元 $A^*=-A$ 。這兩類運算元都是正規運算元。

根據@Tray 的要求，我列出了「運算元半群」理論的一些參考書：

A. Pazy Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial differential Equations.

最終形式的解並沒有寫成時間函數與空間函數的乘積，而是一組疊加解。

事實上我們完全可以不先寫為分離變數的形式，而是直接按照完備的本徵函數組展開，然後解出來係數，這樣，你就不會對於分離變數感到奇怪了。

分離變數法(separation of variables)的基本思想是「降維」。Evans在他的書里這樣描述：

用 $tin{f R}$ 表示時間變數， $xin{f R}^n$ 表示空間變數。分離變數法可以分成兩類。一類是把函數 $u(x,t)$ 寫成形如 $v(x)w(t)$ 函數(也就是題主問到的「時域函數」和「空域函數」)的疊加(superposition)，可以稱為對時間的分離變數。這一類的分離變數實質上是運算元的特徵函數的展開。例如，通過分離變數法，可以將線性PDE $partial_tu=Au$ （這裡的 $A$ 是具有某種「良好」性質的獨立於時間 $t$ 的線性運算元）的解寫成

$u(x,t)=sum_nalpha_ne^{lambda_nt}u_n(x)$

而 $frac{partial^2u}{partial t^2}=Au$ 的解可以寫成

$u(x,t)=sum_n[alpha_ncos(omega_nt)+eta_nsin(omega_nt)]u_n(x)$

除了運算元 $A$ 的特徵函數構成一組完備基外，分離變數法在這裡起作用的一種重要原因是上面兩個例子是「時不變」（time-invariant）的： $A$ 不隨時間的變化而變化。如果將上面的第一個例子改成

$frac{partial u}{partial t}=A(t)u quad (1)$

$A(t)$ 仍有特徵函數 $u_n(x,t)$ 。但由於特徵函數與時間有關，一般地，(1)不再有分離變數解。 PDE的這種「時不變」性質可以看成PDE的某種對稱性。而這種對稱性正是可以使用分離變數法（包括後面提到的一類）的重要原因。

另一類分離變數法是對空間的分離變數。我們知道有的PDE是不含時間變數的。最直接的例子就是上面兩個例子中引出的「特徵問題」（eigen-problem）：特徵函數 $u_n$ 滿足方程

$Au_n=lambda_n u_nquad(2)$

一個簡單的例子是 $A$ 為Laplace運算元 $Delta$ 。這個時候，如果方程（2）的「空間域」（spacial domain）具有某種對稱性——下面三種或這三種的「組合」：

那麼（2）就可以用分離變數的方法解。（Strauss的Partial Differential Equations Chapter 6 有很多例子。）

對上述兩類分離變數法的詳細論述可以讀Steven Johnson寫的Notes on Separation of Variables (http://math.mit.edu/~stevenj/18.303/separation.pdf)。

更多的關於對稱與分離變數的關係可以讀Miller 在1977年的論著 Symmetry and Separation of Variables (https://www.ima.umn.edu/~miller/separationofvariables.html)。

我覺得應該從正交函數的完備性談起。

非數專業，沒有深入鑽研數學，以前做過的一道習題，希望對你有幫助。

證明運算元是正規運算元，這個其它答案也說了。另外這裡提供兩種想法，第一個就是利用變分理論，但是需要首先證明運算元對應的變分極值的存在性。對於線性運算元，以及一些非線性運算元極值是存在的，但是有些運算元沒有上界也沒有下界。第二種是看看該運算元能否生成強連續運算元半群，這個可以通過feller-miyadera-phillips對一般半群生成定理推出。解的求解可以通過對對應的豫解運算元的傅立葉反變換得到。