介值定理中ξ閉區間的證明？

01-22

在同濟高數第六版中
只證明了ξ在開區間(a,b)成立介值定理，
其推論只證明了?ξ∈(m,M),使f(ξ)=C。
然而各種考研書上都是?ξ∈[m,M]成立。
甚至專門強調介值定理在閉區間上。

請問在閉區間上的證明是什麼？
----------------------------------------------------
描述：
一.同濟高數書的證明
此處證明了ξ在開區間（a , b）上，? f(ξ) = C 。
此處由上面的介值定理得：
?ξ在開區間（x1，x2）上，使f(ξ) = C ,其中（f(x1) &

二.由上面圖像可看出：ξ處於 a,b 端點處介值定理及其推論同樣成立，然而書上只給出了在開區間的證明，因此也不能得出 ( f(x1) ≤C≤ f(x2) ) 的結論。
而考研書
在做題時也是用的ξ∈[a , b]
問題：
是我理解錯了還是沒有給出在端點處的證明？

2016.11.20更新：

首先，數學是強迫症一般講究精細的東西，而同濟版的證明裡：

上面紅框內的語言明顯不是很嚴格，何謂「A與B之間」呢？包不包括A和B呢？

當然，答案是不包含A和B，用嚴格的數學語言來講就是：

A＜C＜B 或者 B＜C＜A （這取決於兩端點值的大小）

把上式寫成區間形式：

C∈（A，B）或者 C∈（B，A） （開區間）

現在，我們重新來捋一下介值定理：

1、我們知道什麼？

（1）我們在一個 閉區間 [a , b] 上有連續函數 f（x）

（2）該函數f（x）在端點a和b處的函數值不同 （則兩者必能分出一大一小）

2、我們想知道什麼？

（1）我們知道兩端端點的函數值後，能不能得出中間點的函數值的一些信息呢？

（2）由此，我們先選取一個值C，選取的原則是 C∈（A，B）或者 C∈（B，A）

3、我們最後發現？

無論我們怎麼選取C，只要它滿足選取原則，那麼我們一定可以在開區間（a，b）找到對應的點 x=ξ ，該點處取到的函數值就是C。

上面的東西，題主可能覺得是廢話，現在我開始解答題主的疑惑。首先，有必要先把題主的問題分析清楚：

1、數學書上的，和考研書上的介值定理在描述上的區別？

（1）首先，數學書上寫的介值定理才是真正的」介值定理「，而考研書的這條：

它不是真正的」介值定理「，題主也有說它是介值定理的一個推論，數學上這條定理有自己的名字：魏爾斯特拉斯第二定理。

它描述的是，在閉區間上連續的函數，必定有最大值和最小值；且這兩個函數值一定能在該閉區間上取到。

當然本質上介值定理和魏爾斯特拉斯第二定理是等價的，但是就關注點來說兩者是不同的

介值定理關注的是兩端點值之間的函數值，是否一定被取到；

而魏···定理關注的是函數在區間上的最大最小值的情況，是否存在，能否被取到

至於考研書為什麼這麼武斷地寫上介值定理，我也不清楚，反正我看著是挺難受的。

（2）即使如此，其實介值定理也拓展成這樣子：

f（x）在閉區間[a，b]上連續

選取一個數C滿足： C∈[A，B]或者 C∈[B，A] ，

必?ξ∈[a，b]，使得：

f(ξ) = C

（注意甚至沒有規定兩端點值不同，即可以有A=B）

注意，書本里選的C屬於開區間，證明出來的ξ屬於開區間；

而這裡，我們選取的C屬於閉區間，那麼ξ則一定是屬於閉區間的。否則會有如下反例：

對於這個函數，假如我們選取C=A=f（a），那麼明顯地（由於f（x）單調）只有x=a這點可以取到C值。所以，ξ一定是屬於閉區間的，而不能寫成開區間。

2、現在，來證明拓展後的介值定理

注意到它跟原來的介值定理，區別在於C的取值區間，即左右兩邊多了取等號的情況。我們可以分類討論：

（1）當 A＜C＜B （或者 B＜C＜A ）

書本已證明這種情況下，?ξ∈（a，b）使 f(ξ) = C

顯然地，ξ也必屬於閉區間 [a，b] （閉區間包含了開區間）

（2）當A=C

顯然也是成立的。因為當C為端點函數值時，我們只需ξ取對應自變數端點值：

取 ξ = a ，便有f（ξ）=f（a）= A= C

而該點 x=a 是在閉區間 [a，b] 上的

（3）當C=B

同（2）理

（4）還有一種特殊情況：A=C=B

同（2）（3）理（這時起碼有兩種選取：ξ=a 和 ξ=b ）

綜上，對於 A≤ C ≤B （或B≤ C ≤A），必?ξ∈ [a，b] ，使得f（ξ）=C

而且我們知道，必須寫成ξ∈ [a，b] ，因為函數f（x）可能是單調的

各個版本對於介質定理的定義都不太一樣，同濟第六版版除了介質定理還有很多定理也有問題，但同濟第六版還好吧，同濟第七版把介質定理的推論弄得更籠統，而且前面介質定理推論改了，後面證明積分中值定理的時候，用了介質定理推論還是按的第六版的推論，前面改了後面沒改，真是坑爹，相對於第七版我認為第六版更好。其實這些不嚴謹可以理解，現在是市場經濟，高等數學只是一個達到上層樓宇的工具而已，誰會靜下心來把它弄得多麼多麼嚴謹，都追名逐利去了，真要弄清這個問題只有去看各個版本的數學分析了（數學系的人研究的，不過他們很多都轉行了，因為研究理論沒錢途，就算把介值定理該不該取閉區間研究清楚了，又能怎樣，最多大家知道哦哦這個以後該取或者不該取閉區間了，還能怎樣，能得到多少錢）。我們現在只要知道怎麼用就行了，因為大家的目的都不是去研究數學吧，沒必要糾結。等以後時代變了（大家都有錢了）書中的內容自然而然就會變得嚴謹。不過本人非常嚴謹對待數學，介質定理克賽是屬於閉區間a到b的。零點定理開區間。