底數為負數的指數函數的圖像是什麼樣的？

01-22

如題。
X度知道上面幾乎都是在解釋高中階段為什麼不研究以負數為底數的指數函數...但是就算底數是負數也應該可以作出圖像吧？

謝邀。用複數來理解，-1 = exp{(2n+1) pi}，n是任意整數，然後(-1)^x = exp{(2n+1) pi * x}。顯然n的不同取值對應不同的結果，所以這是一個多值複函數。

做不出來圖像。如果只考慮實數域那麼(-1)^pai這個值是難以算出來的。如果引入複數，那也是不能畫的。因為複數域是個不可序集。當然如果你願意在三維上畫的畫還是可以的。

你需要學會如何突破次元壁...

$[f(x) = {( - 1)^x}quad x in mathbb{R}]$

顯然就算底數是負數有時候也能求值.比如:

$[{( - 1)^{ - 2}} = frac{1}{{{{( - 1)}^2}}} = 1]$

不過實數的時候到底應該怎麼辦呢?

$[{( - 1)^x} = {e^{xln ( - 1)}}]$

看來我應該先解釋下對數函數的圖像...

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$[f(x) = ln xquad x in mathbb{R}]$ 的完整圖像

一個複數能被寫成:

$[z = |z|{e^{i( heta + 2kpi )}}quad k in mathbb{Z}]$

兩邊取自然對數就得到:

$[ln z = ln |z| + ln {e^{i( heta + 2kpi )}}quad k in mathbb{Z}]$

然後取負實數,取模變取絕對值,幅角為 $-pi$

$[ln ( - x) = ln |x| + (2k + 1)pi i]$

Ok,那麼虛數代表什麼意義呢...

很簡單就是離開XoY坐標面的距離.

其實就算是正數也應該寫成:

$[ln x = ln |x| + 2kpi i]$

所以對數函數的圖像其實是這樣的:

藍色的就是你熟悉的y=ln x

但是事實上每個x對應無數的y值,紅色虛線還能無限排開

可以看到當x取負的時候函數浮在坐標面上下方沒有交集

所以就畫不出圖像了...

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留道題:

$[f(x) = {log _x}(e)quad x in mathbb{R}]$

的函數圖像是什麼樣的

Hint:

$[{log _b}(a) = frac{{log (a) + 2npi i}}{{log (b) + 2mpi i}}]$

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Ok,我們現在知道了 $[ln ( - 1) = (2k + 1)pi i]$

所以代入原式得到:

$[egin{aligned} {( - 1)^x} = {e^{xln ( - 1)}}\ = {e^{(2k + 1)pi ix}}\ = cos (2pi kx + pi x) + isin (2pi kx + pi x)\ = cos (pi x) + isin (pi x)\ end{aligned} ]$

綠色的就是原來的坐標面,函數像個線圈一樣來回穿梭,穿過的時候留下一個點...

所以在坐標面畫圖像的話就只有一堆點了...