交換代數中有哪些常用的技巧？

01-22

初學交換代數，半年內大概做完了AM的習題。發現交換代數的知識體系真是比入門的抽象代數多了很多，而且前後關係還挺大，概念也比較雜（特別是習題裡面會介紹很多正文不講的東西，有些還會在後面出現，如素譜空間等）。
AM的交換代數感覺習題大多數方法迥異，但是總覺得是有一些套路。
那麼，學習交換代數或者思考相關問題的時候，有哪些常用的技巧？

從AM習題來看，我總結了一些技巧如下：
比如
局部化：利用某些性質的局部化，如把Dedekind環局部化變成DVD
作商環：比如題目要考慮A中理想a的性質，把它過渡到A/a，我們可以直接考慮0理想。

歸納法：比如要證Boole環的有限生成理想均主理想，直接考慮兩個生成元的理想即可
畫交換圖：利用正合性或者萬有性質之類分析，然後可以對正合列用右正合的張量積作用得到新的正合列。
Zorn引理：考慮滿足某種性質的集合的全體，然後得到極大元或者極小元，通常它們都有好性質（如為素理想）
零點定理：即Zaraski lemma，零點的弱形式那些（可是還是不太會用……）
完備化：（這個由於出現在書本的較後面，所以沒有怎麼應用……）

還有各種性質的遺傳性或者不變性，這些性質保證了上面的一些操作是可行的。

範疇論學的好的話，70%的習題都是trivial的

就舉幾個經常用的，一對adjunction，左伴隨是局部化，右伴隨是fully faithful 兩個複合起來有一個複合是同構於identity.這個極其有用,並且如果一對伴隨函子，複合起來是同構於Id，外面的那個是局部化，裡面的那個是fullyfaithful。所以我們可以看出，sheafification實際上是範疇局部化的特殊情形。

第二，局部化實際上是filtered colimits.所以在AB5滿足的範疇中，局部化是正合的

第三範疇中的緊對象的各種等價定義

第四伴隨函子，可表函子的熟練應用

第五各種正向反向極限交換性原則，能夠辨認她們（這點很重要，要能看出來是什麼東西），比如你要能看出來零化子Ann(M)實際上是一個limits

第六要會畫圖，題做得做不出來的一個重要方面是交換圖畫的好不好，畫好了，就一句話。

第七對於30%不太平凡的，懂點代數幾何。

學了代數幾何會好一些吧

交換算嗎....