什麼情況下積分和求導可以交換順序？

01-22

謝邀： 這不是一個簡單的問題，我們先限定為一維的情況。這個情況下，我們假定 $f(a)=0$ 的情況下，一個非常trivial的結論是，如果 $f$ 和 $f$ 都是連續的，那麼這個問題就是微積分基本定理：

$frac{d}{dx}int_a^x f(t)dt=f(x)=f(x)-f(a)=int_a^xf$ ,

不假定 $f(a)=0$ 這個條件，這個式子都不會成立，這個問題也就失去了價值。

一個函數是可導的，自然是連續的，所以上面的式子失職上問什麼樣的函數滿足下面這個等式：

$f(b)-f(a)=int_a^b f$ 。

我們接下來都不再要求 $f(a)=0$ ，因為只要某個函數 $f$ 滿足上面這個式子，我們可以構造

$f_1(t)=f(t)-f(a)$ ,這個自然滿足全部條件。

天真的少年（少女）是不是幻想只要 $f$ 可導，式子

$f(b)-f(a)=int_a^b f$ 。

就無條件成立了？

幻想可以被下面幾個蛋疼的例子打破：

例子1:這個例子極端複雜，目的在於說明一個問題：即使一個函數可導，也不代表這個導數可積。

我這裡給一個比較簡單的例子吧，設

對於 $x eq 0$ , $F(x)=x^2sinfrac{1}{x^2}$ , $F(0)=0$ ，它的導數是

$f(x)=2xsin frac{1}{x^2}-frac{2}{x}cosfrac{1}{x^2}, , x eq 0, f(0)=0$ ,

但是 $f(x)$ 在0點附近不是黎曼可積的，這一點不難證明，因為達布上和和達布下和不一致。

數學家還構造了一個函數 $H$ ,使得 $H$ 處處存在，但是無處單調，而且 $H$ 本身是不可積分的。換句話說，你不能指望

$f(b)-f(a)=int_a^b f$

無條件成立！（具體構造請看《實分析中的反例》）

例子2: 我繼續打破另外一個幻覺：即使一個函數可積，也不代表這個函數積分出來的函數的導數和自己相等。我們構造一個函數 $g$ 使得 $frac{d}{dx}int_0^x g(t)dt$ 和 $g(x)$ 在每個區間上都有一個不同的點。

設對於 $x=frac{p}{q}$ (為一個有理數，而且可以表示為不可約素數之比),定義 $g(x)=frac{1}{p}$ ，其他的點定義為0. 這這個函數是黎曼可積的，而且 $int_0^x g(t)dt=0$ ，所以自然有 $frac{d}{dx}int_0^x g(t)dt$ 和 $g(x)$ 幾乎處處不同

一個比較好的結果是這樣的（來自rudin）：

其中 $fin mathfrak{R}$ (就是那個花寫的)意思是黎曼可積分。也就是說一個 $f$ 可微分，而且它的導數是黎曼可積的，那麼

$f(b)-f(a)=int_a^b f$

成立。

如果把黎曼積分改成勒貝格積分，問題會變得複雜一點，懂勒貝格積分的人也許會猜測：

一個 $f$ 幾乎處處微分，而且它的導數是勒貝格可積的，那麼
$f(b)-f(a)=(L)int_a^b f$
成立。這是錯的，例子也來自rudin，裡面構造的函數叫cantor函數，具有非常有趣的性質：

對待這個問題，一個靠譜的結論是論：如果 $f$ 是絕對連續的，那麼這個函數可以滿足

$f(b)-f(a)=int_a^b f$ ，（這裡的積分是勒貝格積分，而不是黎曼積分）

什麼是絕對連續，是這個意思：對於任意的 $epsilon>0,exists delta>0$ ，使得當 $a_1,<img src=$ 的時候，必然有 $sum|f(a_{n+1})-f(a_n)|leq epsilon$

數學分析教材里都有吧，如果積分一致收斂就可以交換次序。當積分是廣義積分或者是瑕積分時，判斷一致收斂需要用一些很精細的判據，例如狄利克雷判據和阿貝爾判據。這些內容可以跟無窮級數結合著學習。很多年沒看過了，具體細節不記得了。

我的理解與dhchen的不同。題主問的是在什麼條件下有

$frac{d}{dt}int_a^bf(x,t), dx=int_a^bfrac{partial }{partial t}f(x,t),dx$

費曼寫過他上學的時候用這個技術解決了很多積分的計算問題：

One thing I never did learn was contour integration. I had learned to do integrals by various methods shown in a book that my high school physics teacher Mr. Bader had given me. One day he told me to stay after class. "Feynman," he said, "you talk too much and you make too much noise. I know why. You"re bored. So I"m going to give you a book. You go up there in the back, in the corner, and study this book, and when you know everything that"s in this book, you can talk again." So every physics class, I paid no attention to what was going on with Pascal"s Law, or whatever they were doing. I was up in the back with this book: amp;amp;quot;Advanced Calculusamp;amp;quot;, by Woods. Bader knew I had studied amp;amp;quot;Calculus for the Practical Manamp;amp;quot; a little bit, so he gave me the real works—it was for a junior or senior course in college. It had Fourier series, Bessel functions, determinants, elliptic functions—all kinds of wonderful stuff that I didn"t know anything about. That book also showed how to differentiate parameters under the integral sign—it"s a certain operation. It turns out that"s not taught very much in the universities; they don"t emphasize it. But I caught on how to use that method, and I used that one damn tool again and again. So because I was self-taught using that book, I had peculiar methods of doing integrals. The result was, when guys at MIT or Princeton had trouble doing a certain integral, it was because they couldn"t do it with the standard methods they had learned in school. If it was contour integration, they would have found it; if it was a simple series expansion, they would have found it. Then I come along and try differentiating under the integral sign, and often it worked. So I got a great reputation for doing integrals, only because my box of tools was different from everybody else"s, and they had tried all their tools on it before giving the problem to me.

Folland的實分析書里給了一個這個等式成立的較弱的條件。證明的基本想法是把導數寫成差分的極限，然後用控制收斂定理交換積分和求極限的順序：

如果要看數學分析的書，可以讀卓里奇的第十七章含參量積分。那裡的條件要強一些（偏導數連續）。

問題有歧義，到底問的是對於一個一元函數，求導運算和不定積分運算可以交換順序不改變結果

還是問，一個多元函數，什麼情況下，多重積分可以交換積分次序不改變結果？一個多元函數，求偏導數按不同次序不改變結果？

陳紀修《數學分析-下》

note：重點和難點在於判斷一致收斂

物理問題中基本上都可以。

我一直都是這樣理解的:

對於我們學物理的，這個性質是公理…

被積函數一致收斂即可，數分教材上有的

額，我看過有個相關的東西吧，不確定記得是不是這樣：

設一個閉區間上的一個of bounded variation的函數f，那麼f(b)-f(a)也就是這個函數的增量由兩部分構成:函數連續變化所產生的增量部分就是f的導數(幾乎處處存在)的積分，函數跳躍所產生的增量部分就是把f跳躍間斷點(可數的)處跳躍的值加起來得到的一個可數的和(級數)，這兩部分加一起就是f(b)-f(a)了。如果函數絕對連續的話第二部分就是0。

不知道對不對。似乎記得是這樣。