求球面上隨機均勻分布的三點所圍的球面三角形的面積的期望？

01-22

如題。

我想想，我們把三角形的三條邊延長變成大圓，這樣我們就是三刀把一個球面切成了八部分，這八部分是對稱的，我們的球面三角形只是八部分中的一個，因為八部分加起來是球面總面積 $4 pi r^2$ ，所以球面三角形面積的期望是 $frac{pi r^2}{2}$ ，只要利用對稱性就可以了

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稍微論證的嚴密一點，任取一個球面三角形ABC，我們通過上述方法可以得到另外7個球面三角形；而當我們取這另外7個球面三角形中任意一個的時候，通過相同的方法，仍然可以得到相同的8個球面三角形，所以這8個球面三角形是對稱的，所以這8個球面三角形的面積期望值相等，所以每個的面積期望值等於總和的1/8，這裡面不涉及「任取三個大圓是否與任取三個點等效」的問題

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還真的有張現成的圖

感謝評論區 @料理小達人，感謝原圖作者，這圖應該沒有版權問題吧……

因為面積是內角和減π，所以只需要計算單個內角的期望就好了。而一個內角大小的期望是π/2，所以面積期望應該是π/2。

我把 @果凍的解法詳細解釋一下。

如上圖所示，我們假設研究的球面為單位球面，球面三角形中每個角的大小為 $A,B,C$ （如果沒有特別說明，我們所有的角度單位均為弧度）。

則球面三角形的面積 $S=A+B+C-pi$ 。

這點在Spherical trigonometry 中有過解釋。

由於是均勻取點，所以 $A,B,Csim U[0,pi]$ ，所以 $E(A) = E(B)=E(C)=pi/2$ .

所以 $E(S)=E(A+B+C-pi) = E(A)+E(B)+E(C)-pi=pi/2$ .

若球的半徑為 $r$ ，則球面三角形面積期望為 $pi r^2/2$ .

找到一篇疑似有關的paper，逃

http://arxiv.org/abs/1009.5329

我算得 $frac{pi r^2}{2}$ 。

沒找到matlab球面三角形面積的數值解函數，所以還沒做模擬驗證....誰知道如何模擬也請教一下謝謝~

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字丑，圖不清楚，畫得也就將就……各位湊和著看吧hhhh

主要就是球面坐標系的選取和概率密度的對稱

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搶答也好，算出結果也好，明明是我先來的，為什麼高票算得這麼熟練啊

果然有大佬（

拋磚引玉，小試一下。

首先三個點共線或重合構成的集合在球面上的測度是零，不影響討論。

我們關注三點不共線的情況。

為簡化模型，只關注單位球 ${S : {x,y,z}|x^2+y^2+z^2=1}$ .

我們可以任選一個點 $P_1$ ，作為球坐標系的北極點，即 ${0,0,1}$ ，且不失一般性。

從直角坐標轉到球坐標去，即 ${ P_{1}={r_{1},phi_{1}, heta_{1}}|r_1=1, phi_{1} = 0, heta_{1} =0 }$ 。

並可以在球坐標內通過坐標轉換使得第二個點 $P_2$ 在圓弧 ${ P_{2}={r_{2},phi_{2}, heta_{2}}|r_{2} =1, phi_{2} = 0, 0< heta_{2} < pi }$ 上，並不失一般性。

對第三個點，則有 ${ P_{3} = {r_{3},phi_{3}, heta_{3}}|r_{3} =1, 0<phi_{3}<pi , 0< heta_{3} < pi }$

$phi_3$ 定義域理論上是 $[0,2pi)$ ，考慮到題目所要求的三角形更可能是劣弧所對應的那個，在此就不考慮 $[pi,2pi)$ 這一範圍。

記

$angle P_1OP_2 = alpha;\ angle P_1OP_3 = eta;\ angle P_2OP_3 = gamma.$

則有

$alpha = heta_{2};\ eta = heta_{3};\ gamma = arccos[cos heta_2cos heta_3cosphi_3+sin heta_2sin heta_3].$

記球面三角形 $、 P_1P_2P_3$ 對應的立體角為 $Omega$ ,面積為 $A$

有:

$egin{eqnarray} sigma = (alpha+eta+gamma)/2 ; \ Omega = 4 arctan sqrt{ an{frac{sigma}{2}} an{frac{sigma-alpha}{2}} an{frac{sigma-eta}{2}} an{frac{sigma-gamma}{2}}};\ A = 4pi imes Omega end{eqnarray}$

接下來就是積分了。

恩，我積分學得不好……

有空搞個數值解貼上來

T.T

我想了半天，不懂。

決定寫個程序試驗一下。

想了半天，發現連用程序在球面上隨機取點都很難。

終於想到辦法（先隨機經度值，得到一個圓環，再在圓環上隨機一個點），

仔細一想發現這樣隨機是錯的，取的點不均勻。

然後我崩潰了…

寫了個簡單的程序模擬，基本與各位大神的計算相符。先吃飯，遲點貼代碼。

吃完回來，代碼如下（引擎Unity，語言C#）：

int n = 100000;

float sum = 0;

for (int i = 0; i &< n; i++)

{

Vector3 p1 = UnityEngine.Random.insideUnitSphere;

Vector3 p2 = UnityEngine.Random.insideUnitSphere;

Vector3 p3 = UnityEngine.Random.insideUnitSphere;

float D12 = Vector3.Angle(p1, p2) / 180f * Mathf.PI;

float D23 = Vector3.Angle(p3, p2) / 180f * Mathf.PI;

float D13 = Vector3.Angle(p1, p3) / 180f * Mathf.PI;

float s = D12 + D23 + D13 - Mathf.PI;

sum += s;

}

Debug.LogError("結果：" + (sum / n).ToString() + " PI/2:" + (Mathf.PI / 2).ToString());

Unity就是這點好，球面上取點有現成函數。

運行結果：結果：1.569207 PI/2:1.570796

拋磚引玉ヽ(*≧ω≦)?

單位球面。

感覺可以通過三個隨機歐拉角來實現均勻分布，然後曲面三角形面積可以通過高斯博內公式來計算。

下次有時間算算，感覺工程量浩大。。(ˉε(#ˉ)

球面積對uniform spherical distribution 求積分

來提供一個自稱數學渣的基友提供的直覺解法吧，和@果凍和@靈劍類似，不過用到的思路更簡單。以及我不確定其嚴格性。

首先隨機在球面上取一個點 A。然後過點 A 隨機做一條周長線 l，則此線二分球體面積。假設點 B 在 l 上，則其期待為 A 的 antonode. 做一條正交於 l 的周長線 l"，如 C 在 l" 上其期待為到 l 的距離為球體周長 1/2 的某點。那麼 ABC 的面積是球體總面積的 1/8。也就是 $pi r^2 over 2$ . 對於每一個點 B 都有一個周長線 l 與之對應（將其歸類），對每一個點 C 都有一個周長線 l』與之對應（將其歸類）。所以以上論述對球面上均勻分布的三個點成立。

總感覺三個點在球面上可以圍成四個三角形……