積分與微分在幾何意義上差距甚大 卻為何互為逆運算？

為了能讓數學不是很好的同學聽懂，就不用數學術語和方法了，簡單用具象化的口語說一下。

● 首先，微分或者求導是一個微觀化的過程。

簡單地說，就是一個從高維度的研究轉變為低維度研究的過程，即從三維變成二維，二維變成一維。譬如一次求導可以研究函數在某一點的變化率，二次求導可以研究函數在某一點變化率的變化趨勢（凹凸性），每一次求導或者微分的深化，都是在更細微之處的研究。

比如研究一個非常複雜的三維的東西，我們求導或微分一次，就是在研究它更細微的二維的投影，求導或微分兩次，就是在研究它更更細微的一維的線條，求導到最後變成了研究最細微的點。在每一次微觀化的過程中，函數或者研究對象會變得更『尖銳』，就好像從社會矛盾→地區矛盾→家庭矛盾→個人自我實現的矛盾這樣一個細微化的研究過程中，每一次矛盾都會顯得更具體並且更為尖銳。

反映在函數上，非常平滑的原函數F(x)求導一次可以變成稜角分明的f(x)，也就是說f(x)會變得不可導。換句話說，我們若知道某函數一階可導，但不能知道其是否二階可導，因為一階求導後的函數可能會變得非常稜角分明。

所以有人說，微分或者求導就是一個用顯微鏡不斷放大觀察皮膚的過程，每一次更細微化的研究，皺紋就會更加明顯和深刻。

● 積分則是一個宏觀化的過程。

是從低維度的研究轉變為高維度研究的過程。譬如點的積分成了線，線的積分成了面積，面積的積分成了體積。

在每一次的積分過程中，函數或者研究事物會變得越來越平滑，原因其實和微分或求導相反，從小及大的研究必然會拋棄一些微不足道的東西，就像從1cm2的皮膚的研究到整個人的研究，我們觀察到的皮膚將會越來越平滑。

反映在函數上，一個稜角分明不可導但連續的函數f(x)，其變上限積分（f(x)的一個原函數）必是可導的，或者說其原函數是光滑的。

● 下面還有一個非常有用的高低維度原則，可以幫助大家記憶一些結論。

譬如若原函數F(x)可導，那麼f(x)是否可導？當然不確定，高維度可以完成的事，低維度能不能完成並不是確定的，就好像人能思考，那麼螞蟻能不能思考我們並不能確定。但是可以肯定的是，低階的螞蟻如果能思考，那麼高階的人類也一定能思考。即若f(x)可導，那麼F(x)也一定可導。（簡單推導：f(x)可導→f(x)連續→f(x)的積分上限函數可導，且導數為f(x））

再譬如若f(x)連續，那麼F(x)是否連續？當然連續。低階能做到的事，高階一定能做到。實際上，不論低階的f(x)是否連續，只要可積，高階的f(x)積分上限函數都是連續的。甚至，當低階的f(x)連續時，其高階的積分上限函數還是可導的，且導數為f(x)。

再比如二階可導可推一階可導。一階可導不可以推二階可導（比如變上限積分sint/t，下限-1，上限x，導數為sinx/x，但sinx/x在0點不連續，因此也不可導）

上述的高低階原則的一個約束是有限區間。

● 實際上，在有限區間內，f"(x)若可導、連續、可積、有界，則f(x)必可導、連續、可積、有界。

反之，全部都不成立。

備註，類似於生物的創作→思考→情緒→運動，這樣一個由困難到簡單的排序，微積分里大體的排序如下：

即高階的原函數F(x)能做到的，低階的f(x)能不能做到並不知道。但是F(x)做不到的，f(x)一定做不到。反之，f(x)能做到的，其原函數F(x)一定能做到，甚至可能做到更困難的行為。

再強調一遍，上述的高低階原則的一個約束是有限區間。

如果區間是無限的，有些結論就會失效。譬如在無限區間，低階的y=1是有界的，但高階的y=x是無界的。