常數變易法思想的來源或本質是什麼？

01-22

常數變易法總能使非齊次線性微分方程變為齊次線性微分方程和一個降階的非齊次方程，為什麼？

「我們所用的僅是他的結論，並無過程。」——來自百度百科「常數變易法」詞條。

至於百科引文下面為什麼給了思路和推導過程，我想應該是後人根據某拉格朗日大佬的結論逆推出來的。

下面講講思路和推導過程。

一切的一切，都來源於這個小賤人： $frac{dy}{dx}+P(x)·y=Q(x)$ ,讓你求y函數的表達式。

直白的說，因為有P（x）和Q（x）在那裡擺著，首先這個等式不一定齊次。即使齊次，只要Q（x）不等於0，就無法分離變數。

而我們知道，變數分離是最根本的解法，俗稱「萬變不離其宗」。那完，這個沒法分離變數。

於是大佬跟它鬥爭了十一年，最後發現設 $y=U(x)·V(x)$ 是可以的.（下面簡寫為 $y=u·v$ ）

哦當然當時設的時候他並不知道這樣是可以的。總之大佬抱著試一試的心理代入了原式，得到 $frac{du}{dx}·v+u(frac{dv}{dx}+P(x)v)=Q(x)$ .

大佬不忘初心，始終堅持著變數分離的思想。「我要分離u和x！」（好吧是我有點中二QAQ）

在這裡插一句，為什麼不是分離v和x呢？其實在這裡v和u是完全對等的狀態，可以說只是符號表示的不同，不信把上式中的v提出來，你會發現形式完全相同。

回到正題…大佬想要分離u和x。乍一眼看，要是令 $frac{dv}{dx}+P(x)v$

等於零，那麼 $u(frac{dv}{dx}+P(x)v)$ 一整項就不見了，能求出一個只跟隨P（x）變化的函數v，再把v代進 $frac{du}{dx}v=Q(x)$ ，積個分，u不就也出來了么。u和v都能用P（x）、Q（x）表示了，y也就出來了。

按這個思路一路暢快地推導下來，得到 $v=C_{1} e^{int_{}-P(x)dx }$ , $u=frac{1}{C_{1} } int_{}^{}Q(x)e^{int_{}^{}P(x)dx }dx+C_{2}$ 。一路愉快地求出y。

其實到這裡這道題就結束了，結論也可以隨便用了。但是！（敲黑板）因為v是跟隨P（x）改變而改變的，對每一個確切的一階線性方程都只存在唯一的一個v，再根據以上的推導過程可以知道對每一個確切的一階線性方程也只存在唯一的一個u，所以大佬決定省略以上推導過程，就不設 $y=uv$ ，而是直接設 $y=ue^{int_{}^{}-P(x)dx }$ ，來求下面的過程。這就是常數變易法。

關於思路，簡單理一下——恩就是變數咋都分離不出來的時候大佬想了十一年猛然在一次打草稿的時候發現這種方法是行得通的。意思就是，真理擺在那裡，被大佬發現了，而不是大佬本來就知道這個真理。

關於數學思想，其實很簡單——堅持不懈地嘗試。搞科學的，常常只能用這種方法。同上，真理是用來發現的。

關於題主「為什麼常數變易法總能把一個線性非齊次常微分方程變為對應齊次方程和降階的非齊次方程」的問題，不知道題主有沒有注意到， $y=uv$ 中，u就是降階的非齊次方程，而v是對應齊次方程。當令 $frac{dv}{dx} +P(x)v$ 等於零時，形式上等同於Q（x）=0時的原有方程，也就是齊次方程。以下：

$frac{dv}{dx} +P(x)v=0$ $frac{dy}{dx} +P(x)y=Q(x)=0$

所以有趣的是，不是常數變易法把一個線性非齊次常微分方程變為對應齊次方程和降階的非齊次方程，而是我們從一個線性非齊次常微分方程中分離出了它的對應齊次方程，從而解出剩下的部分正好是它降階的非齊次方程。然後我們用常數變易法來表示這種現象。

如果還不能理解的話，我舉一個栗子~

對 $y=x^{3}-1$ 分解因式，我們知道x=1是一個根，即 $(x-1)$ 是一個因式，根據它，我們用多項式的除法求出另一個因式為 $(x^{2} +x+1)$ 。此時，原式被我們分解為兩個因式（它原本就一定可以被分解為兩個因式）。而我們把求另一個因式的過程稱作多項式的除法（自創。。不知道學術上確切叫啥）。