偏微分方程領域有人在做一般性的解析解的理論嗎？

01-22

1.這個領域在做的主流問題。
2.現在的進展，比如高階的解析解存在性與解法？
3。大陸數學家在這面的情況相較其他分支在國際的地位？

謝邀。

說什麼問題重要，這個可以從兩方面來看：（a）什麼方程重要，（b）對於一個方程我們會關注什麼。

先看（a），當然重要的方程就是直接從幾何和物理中來的方程，但同時也應該包括能反映本質困難，且自身結構豐富的重要model，前者比如Einstein equation，Navier-Stokes，後者比如KdV，NLS等。

至於（b），比如說對evolution equation而言，我們一般會問下面這些問題。

（1）方程是不是（至少在足夠好的空間）locally wellposed？這個一般都會是，如果不是的話一定會有特殊原因（比如backwards heat equation）。

（2）如果是，那麼generically方程是有整體解還是blowup？這就比上個問題困難很多了，實際上對相當多的非線性方程我們就是停在這一步。

（3）如果有整體解，那麼解在時間趨於正負無窮的漸近形態如何？這裡有幾種典型的可能，比如dissipation（能量衰減），dispersion（能量守恆但在空間分散），soliton（隨時間不變或振蕩），recurrence（在某個能量面上徘徊）等。

（3.5）一個簡單版本的（3）是所謂perturbative problem，即某些解（可以是平凡解，或是如soliton一樣的特解）的穩定性。

（4）如果有blowup，那麼我們能否給出singularity附近解的漸近刻畫，或者至少知道singularity附近解具有什麼性質？特別地，我們能否將解弱延拓至blowup之後？

舉三個例子。

一，Einstein方程。這裡（1）由1952年Choquet-Bruhat的經典結果解決，對（2），如果把blowup對應於geodesically incomplete，那麼93年的stability of Minkowski和08（？）年的formation of trapped surface都可算是部分進展。

（3）（4）簡單地說就是所謂Cosmic Censorship Conjecture和Final State Conjecture，其中Strong Cosmic Censorship基本相當於（4）中不允許弱延拓的論斷。

至於進展，99（？）年Christodoulou證明了球對稱的情況，但一般認為那是本質更簡單的情形；近期對於Kerr（亦即soliton在Einstein equation的對應物）的微擾（你可以認為是（3.5））研究很多，但絕大多數結果還只限於linearization的解的估計。

二，3D Navier-Stokes。（1）是熟知的，（2）也都知道是100萬問題了。Tao神去年寫了篇腦洞大開的文章證了對某個刻意構造出的model有blowup，然後猜測一般情形或許也有blowup。除此之外就是些partial result，比如singularity set的維數啥的。

（3）（4）不用說了吧，我們需要三體黑科技。

三，NLS。因為是model的緣故我們能做的比較多，（1）還是平凡的，（2）我們目前基本能處理所謂subcritical和critical的情形（實際上按守恆的能量是否恆正還要分所謂defocusing和focusing，不細講；只說一點，即defocusing critical problem的基本解決被認為是21世紀pde界重大進展之一），對supercritical情形還一無所知。

（3）（4）就是所謂的Soliton Resolution Conjecture了，目前最好的結果應該是Kenig等人12年對三維Critical NLS在球對稱情形的所謂type II blowup給出了長時間或是blowup附近的某個漸近刻畫。

PS：我不熟悉幾何，所以如果有人知道做幾何分析的人近來在做些什麼的話，歡迎補充。

PS2：SPDE其實也是很有趣的東西，鑒於我只在前年看過點Martin Heirer的東西，兼為避免偏題，就不多說了。

這是一個非常龐大的領域...

很籠統的說，主流是做各種具體的非線性PDE，非線性PDE沒有一般的理論...

谷超豪的《偏微分方程概貌》和普林斯頓數學指南第二卷裡面的《偏微分方程》可以讀讀...

其中一類方程的孤子，怪波，呼吸子解應該還是搞得有聲有色的

數學物理方程當中倒是有一些涉及到偏微分方程解析解的知識，詳見谷超豪版《數學物理方程》，

其他尤其是在非線性方程中的好像主要都是逼近的線性解