這句話哪裡錯了呢？一個點導數大於0，該點右鄰域存在一個遞增的區間？

01-22

可不可以認為一個點導數值大於0，從這個點往右的一個極小極小部分一定是遞增的么？就是說這個點往右踏出去的總有一個小區間是增加的呢？再通俗說就是該點往右的第一步一定增么？（我可以理解該點右側可以震蕩）
萬分感謝各位大神！！

受本系大神 @zero 的吩咐，我來寫一個詳細的一個反例吧。

下面構造一個可微函數 $f$ ，有 $f$ 0" eeimg="1">，但是 $f$ 在點 $x_{0}$ 的任何鄰域內都不是單調的。

函數寫成 $f (x) = egin{cases} frac{x}{2}+x^2sin(frac{1}{x} ). x e 0\ 0. x=0 end{cases}$

容易驗證：這個函數是連續的，在R上點點可微.

它在0點的導數為 $frac{1}{2} > 0$ ,[按照導數的定義, 自行計算 ]

但是， $f$ 在任意一個包含0點的開區間內都是不單調的。實際上，當 $x e 0$ 時，

$f$ ,當 $x_{k} = frac{1}{kpi } . (k = 1,2,3...... )$ 時 $f$ ，這個導數是一個正負不明的值.

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苦力活幹完了.

這裡取一個x/2的線性項，主要是為了保證在0點取到一個正的導數值，同時得到一個 $frac{1}{2} - (-1)^k$ 的導數表達，便於做成一個簡便的例子。當然了，你也可以取x/3 ,x/4, .......作為線性項，效果一樣。

將問題重新敘述一遍

設 $X$ 是 $mathbf{R}$ 的子集，並設 $x_0in X$ 是 $X$ 的一個元素也是 $X$ 的極限點，設 $f:X omathbf{R}$ 是函數， $f$ 在 $x_0$ 處可微，並且 $f$ 0" eeimg="1">，那麼是否一定存在一個 $delta>0$ ，使得 $f$ 在 $(x_0-delta,x_0+delta)cap X$ 上是單調增的？

首先根據定義 $f$ ，因此 $f$ 0" eeimg="1">，等價於存在一個 $delta>0$ 使得對一切 $xin(x_0-delta,x_0+delta)cap X$ ， $frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}>0$ ，這等價於

如果 $xin (x_0,x_0+delta)cap X$ ，那麼 $f(x)>f(x_0)$
如果 $xin (x_0-delta,x_0)cap X$ ，那麼 $f(x)<f(x_0)$

可見 $f$ 0" eeimg="1">只說明在某個 $x_0$ 的鄰域 $(x_0-delta,x_0+delta)cap X$ ， $f(x)$ 與 $f(x_0)$ 的關係，不能進一步判斷當 $x,yin (x_0-delta,x_0+delta)cap Xsetminus{x_0}$ 時， $f(x)$ 與 $f(y)$ 的關係。

粗略地說就是函數可能會在直線 $y=f$ 附近來回振蕩，但振幅不斷減小，這樣使得函數在 $x_0$ 處可微但在每個 $x_0$ 的鄰域內都不單調

比如上圖中的函數 $f(x)=egin{cases}frac{x}{2}+x^2sin(frac{1}{x}), ext{如果}x eq 0\ 0, ext{如果}x=0end{cases}$ ， $f$ ，函數會在直線 $y=frac{x}{2}$ 附近來回振蕩，並不單調

可微函數的導函數可以有第二類間斷點，但不可以有第一類間斷點。

一個函數在一個點的導數與其臨域內的導數可以完全不相干。

例子： $f(x)=x^{2} *sin(1/x)(x e 0) f(x)=0 (x=0)$

感覺不成立，試著隨意構造一下。

f(x)= （(1/3)^n-2*(1/3)^2n） x $in$ ((1/3)^n-(1/3)^2n，(1/3)^n) n取遍所有正整數

f(x)=x 其它

首先可以驗證0點導數為1

其次可以驗證它在0的右側任一個區間不單調

簡單說一個點的一階導數只能反應一個點的信息。

存在處處連續處處不單調的函數

樓主不要與這個概念混淆：函數的極限具有保號性

一、先主觀形象的講：

1極限是運動到極致的一種狀態，是種動態過程。

2某個點的值是多少，這是靜態。

3函數極限的保號性，由極限定義可推證。存在某去心鄰域與極限值同號，這正是極限是動態過程的一種體現。

所以：導函數也是函數，給出某點值，是靜態的描述，給出極限值，才是動態的描述，才有保號性。

樓主的話改為：導函數的極限值為正，則存在鄰域函數遞增。就對了。

二、客觀的講：

函數極限保號性定義知前提條件：是需要函數極限存在

等價於：函數在此點左極限=右極限

左右極限相等的函數包括：1連續函數 2有可去間斷點的函數

但是：第一類間斷點的函數是不能做導函數的，所以只能是連續函數

綜上：對於導函數這種函數，若有保號性，不僅要求極限存在，還要在此點連續。那麼，找一個不連續的導函數作為反例即可。

三、反例：

下面來考慮怎麼找不連續的導函數——即有間斷點的導函數

排除了：不能作為導函數的具有第一類間斷點的函數

那麼：反例中只剩下具有第二類間斷點的函數來作為導函數

第二類間斷點包括：無窮間斷點震蕩間斷點

震蕩間斷點舉例：

原函數=1/2x+x∧2sin1/x （x非0）=0（x為0）

導函數=1/2（x為0）1/2+2xsinx-cos1/x（x非0）

綜上：0點導數存在且為正數但0點鄰域無論取多小總有無窮次的正負震蕩不能保證導數始終大於零，即導函數是間斷的。

補充：無窮間斷點的反例沒有想到歡迎補充

四、總結：

反例是次要的，重要的是要知道極限只不過是極致到了一種穩定狀態，趨於某個值，但本質是動態；某點值是靜態。動、靜態概念不同，其性質也不同，請勿混淆。

直觀上講就是一個點導數大於零就是足夠小的右領域內任意一個點都比這個點大，但是不能保證這個領域內任意兩個點之間的關係是遞增。

或者用你的話說，走一步一定是增，只要你不走出這個領域，但是你第二步開始的時候，起點並不是你一開始導數大於零的點，這個點導數多少？不知道…

並不。這是2015年清華大學領軍計劃的一道自招題。

反例如下：

fx＝x＋x2＋1，當x為有理數

fx＝x＋x3＋1，當x為無理數。

這個函數在0處單點連續單點可導，導數和函數值都是1。但它顯然處處不單調。

反例：有理點取sin，無理點取x。用夾逼定理證得0處可微，R/{0}上不連續，且沒有單調性。

因為f（x）在該點附近不可導。如果是處處可導的話我覺得應該是成立的。。。

我覺得你可以理解成這個點很想下一步是增的很想很想他有這個趨勢但是真的踏出這一步之後就不一定了～

函數在該點可導，該點的導函數大於零是該函數在該點鄰域內單調遞增的必要非充分條件。

你說的是充分條件當然不成立，上面大神已經幫你證了～

芽和函數

一點導數值為正只能說明該點存在一個右鄰域，右鄰域中的所有函數值大於該點的函數值，與該鄰域的性質無關。

有個蠻簡單的反例:當x為有理數時f=x,當x為無理數時，f=sinx。易得f"(0)=1，但是對於0的任何一個右鄰域，總不是單調的，嚴格證明的話，可以對sinx泰勒展開，然後解出滿足不單增的有理數的條件，這樣就可以了。

歡迎各位大神指出紕漏!

如果一個點導數存在且大於0。某種程度上說明該點連續，且倒數也連續。如果導師不連續，那麼該點倒數也就不存在。所以題主說的該點倒數大於0，那麼該點的左右領域都會有一個遞增區間。

你沒有理解分析學最核心的思想：

靜態和變化無關。

你所說的「可不可以認為一個點導數值大於0，從這個點往右的一個極小極小部分一定是遞增的么」，明顯是把函數還局限在連續可微的範圍內。認為導數必定連續可微，所以既然「開始」大於零，那麼必然就有「極小極小一部分」仍然大於零。

問題是，函數空間里實際上這種函數是比較少的。導數未必就連續可微，比如：

$f$

可以積分得到：

$f(x) = egin{cases} x^2+1 ext{for }x geq 0\ 1-x ext{for }x < 0\ end{cases}$

你看看這個函數在0的右領域有遞增區間嗎？