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怎麼證明半開區間[0,1)不能表示成可數個互不相交的閉集的並？

01-22

$[0,1)$ 不能表示成可數個不相交的閉區間的並比較好證明
注意到只有對 $(0,1)$ 證明命題就可以了，因為如果 $[0,1)$ 能表示成可數個不相交的閉區間的並，那麼選擇一個這樣的區間，比如 $[a,b]$ ，那麼開區間 $(b,1)$ 也能可數個不相交的閉區間的並，而 $(b,1)$ 與 $(0,1)$ 是同胚的。

$(0,1)$ 又與 $mathbf{R}$ 同胚，因為只要對 $mathbf{R}$ 證明就可以了，如果 $mathbf{R}=cup_{n=1}^infty I_n$ ，其中 $I_n=[a_n,b_n]$ 是互不相交閉區間，區間是有界的，因為肯等需要無限個這樣的區間。設
$E=cup_{n=1}^infty{a_n,b_n}$
那麼 $E$ ，即 $E$ 是完全集，根據Baire綱定理，完備的度量空間中的完全集不能是可數的，因此矛盾。
證明來自：http://terrytao.wordpress.com/2010/10/04/covering-a-non-closed-interval-by-disjoint-closed-intervals/

但如果要證明 $[0,1)$ 不能表示成可數個互不相交的閉集的並，這個方法不能直接用，那麼要如何證明呢？

謝邀。下面給一個證明，不一定對。

假設 $[0,1]=I=igcup_{i=1}^{infty}C_i$ , 其中 ${C_i}$ 是一族互不相交的閉集。

考慮這些閉集的邊界組成的集合

$B=cuppartial C_i=I- cup C_i^circ$ , 其中 $partial C_i$ 表示 $C_i$ 的邊界而 $C_i^circ$ 表示它的內部。

接下來我們來證明這個 $B$ 具有矛盾的性質。

一方面，

如果一個開區間 $U$ 包含某個 $partial C_j$ 中的點，那麼它必然也與 $B-partial C_j$ 相交。

這是因為， $U$ 作為某個 $xin partial C_j$ 的鄰域，必然包含 $I-C_j$ 中的點，不妨設 $Ucap C_k eq varnothing$ .

此時假設 $Ucap partial C_k = varnothing$ , 就會得到 $Ucap C_k=Ucap C_k^circ$ , 是一個 $U$ 中的既開又閉集，與 $U$ 的連通性矛盾，必然有 $Ucap partial C_k eq varnothing$ .

另一方面，

$B$ 是一個閉集，因此本身可以視作一個完備度量空間，根據Baire綱定理，它對於它本身來說是個第二綱集。

因此，由於 $B=cuppartial C_i$ , 就至少存在一個 $C_k$ 不是 $B$ 中的無處稠密集。也就是說存在一個 $B$ 中開集 $Ucap B$ , $C_k$ 會在這個 $Ucap B$ 中稠密。

這就告訴我們說 $Ucap C_k=Ucap B$ .

顯然上述兩方面的性質是相互矛盾的。因此我們一開始的假設不成立。

http://math.stackexchange.com/questions/6314/is-0-1-a-countable-disjoint-union-of-closed-sets

上面鏈接中的第一個answer證明了若[0,1]能寫成可數個不交閉集的並，則至多有一個閉集非空。應用這個結論，若[0,1)能寫成可數個不交閉集的並,則[0,1]也能寫成可數個不交閉集的並，且至少兩個非空，矛盾。

不可以的，具體可以參考cantor set康托集的構造過程

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