投資組合的方差公式是什麼？

01-22

先討論A,B兩種資產的投資組合的情況：
投資組合的收益： $R_{w}$ = $w_{a}R_{a} +w_{b} R_{b}$ ， $w_{i}$ 表示i資產在投資組合中的比例。

方差的運算公式： $sigma^2(ax+by)=a^{2}sigma^2 (x)+b^{2} sigma ^2(y)+2abCov(x,y)$
因此： $sigma(R_{w}) ^{2} =sigma(w_{a}R_{a} +w_{b} R_{b} )^{2}=$ $w_{a}^2 sigma ^2(R_{a})+w_{b}^2 sigma ^2(R_{b})+2Cov(w_{a}R_{a},w_{b}R_{b})=w_{a}^2 sigma ^2(R_{a})+w_{b}^2 sigma ^2(R_{b})+2w_{a}w_{b}Cov(R_{a},R_{b})$

$=w_{a}^2 sigma ^2(R_{a})+w_{b}^2 sigma ^2(R_{b})+2w_{a}w_{b} ho _{ab}sigma _{a}sigma _{b}$
如果有n種資產，那麼:
$sigma(R_{w}) ^{2}=E(sum_{1}^{n}{w_{i}R_{i}} -E(sum_{1}^{n}{w_{i}E(R_{i})})^2=sum_{i=1}^{n} sum_{j=1}^{n}w_{i}w_{j}sigma _{ij}$
或者可以表示為
$sigma(R_{w}) ^{2} =sigma(w_{1}R_{1} +w_{2} R_{2}+...+w_{n}R_{n} )^{2}=sum_{i=1}^{n} sum_{j=1}^{n}w_{i}w_{j}sigma _{ij}$

（直接分項展開，較容易理解）
此外，n階矩陣 $Sigma =sigma _{ij}=Cov(i,j),i=1,2,3...n,j=1,2,3...n$ 是收益率R的方差-協方差矩陣，並且投資組合的收益率可以表示為 $R=(w_{1},w_{2},...,w_{n})^T$ 的縱向量，那麼投資組合的方差還可以表示成：
$sigma(R_{w}) ^{2} =w^TSigma sigma _{ij}$ w
如果一個投資組合有500種不同資產，那麼協方差矩陣所需要計算的協方差就有125250種，計算量比較大，所以通常計算投資組合的方差採用單指數模型。

假設每個資產的波動是由 $R_{market}$ 的變化引起的，即：
$R_{i}=a_{i}+eta _iR_{m}+varepsilon _{i}$ ， $R_{j}=a_{j}+eta _iR_{m}+varepsilon _{j}$
不同資產的收益率的殘差 $varepsilon _{i},varepsilon _{j}$ 不相關，殘差的期望值為0，即：
$Cov(varepsilon _{i},varepsilon _{j})=0$ ， $E(varepsilon _{i})=0$

並且某一特定資產的殘差是其獨有特性，與整個投資組合無關，即：
$Cov(varepsilon _{i},R_{mariket})=0$
我們可以得到：
投資組合的方差公式：
$sigma(R_{market}) ^{2}=sum_{i=1}^{n} sum_{j=1}^{n}w_{i}w_{j}sigma _{ij}=(sum_{i}^{n}{w_ieta _{i}} )^2sigma(R_{market}) ^{2}+sum_{i}^{n}{w_{i}^2varepsilon _{i}^2}$
這說明如果用單指數模型計算投資組合的方差，只需要統計每種資產各自的beta值以及各自的殘差項。

第二張里variance是問題的答案，剩下的是投資組合相關的公式。

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