考慮空氣阻力的自由落體下落的時間和的公式是什麼？

01-22

瀉藥。
首先我們需要一個描述空氣阻力需要一個經驗公式。這裡把這個公式取為： $f=frac{1}{2}c ho Sv^2$ 。c是空氣阻力係數， $ho$ 是空氣密度，S是物體的迎風面積，v是物體相對於空氣速度。從這個式子可以看出，不同的物體受到的空氣阻力是不一樣的。這是合理的比如降落傘的迎風面積就很大，所以降落傘下降的時候受到的空氣阻力就很大，正因為這樣降落傘才能保護跳傘者。

物體一但確定之後，迎風面積S也就確定了，這時候空氣阻力之和速度的平方成正比。我們可以把這個比例係數定為k， $k=frac{1}{2}c ho S$ 。這樣空氣阻力大小就可以寫成 $k v^2$ 。
物體在下落過程中只受到重力和空氣阻力。取向下為正方向，則重力大小為正，空氣阻力為負。由牛頓第二定律可得： $mg-kv^2=ma$ ，所以可以寫出如下的非線性微分方程：
$mg-k(frac{dx}{dt})^2=mfrac{d^2x}{dt^2}$
初始時刻速度為0，即 $x$ 。初始時刻下落距離為0，即 $x(0)=0$ 。由這兩個初始條件配合得到的微分方程，就可以得到下落距離與時間的函數關係：

其中ln是對數函數，cosh是雙曲餘弦函數。下落速度隨時間的變化關係通過對x(t)求導得到：
其中tanh是雙曲正切函數。
從v(t)函數的表達是可以發現，當t趨近於無窮大的時候，v(t)以 $sqrt{mg/k}$ 為極限。這說明考慮空氣阻力之後，速度不會像沒有空氣阻力那樣無限制增加，它最終會達趨於一個穩定值，之後的運動便可視為勻速直線運動。這個穩定值也可以通過阻力等於重力得到，即用方程 $mg=kv^2$ 解得。

最後下落距離x(t)和速度v(t)隨著時間變化的圖像大概如下。正如前面所說的，速度有一個極限，隨著時間不短增大，v(t)曲線無限向圖中的虛線靠攏。
有時候在速度不是很大的時候，也採用阻力正比於速度而不是速度二次方的經驗公式。在那種情況下也有類似的結論。

高票答案不錯，主要就是解一個微分方程

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