拓撲學上的緊緻性怎樣理解，有何運用？

01-22

入門初學，請大神指教，謝謝。

謝邀：緊性是空間最重要的性質之一，所謂的理解是建立在應用基礎上的，離開這些例子，光靠解釋是沒用的。反過來，如果你都知道一些例子，你自己大概也能歸納出來。本質上緊性是允許我們像處理有限維空間那樣處理一些無限維空間。特別的的，連續函數在一般的拓撲空間上的有界閉集上不一定有界，但是在緊集上確是可以達到最大最小值。我在下面的回答中列出了大量有限維和無限維上「函數」的區分：

能不能把泛函簡單地理解為函數？ - dhchen 的回答 - 知乎

就算是一個拓撲裡面緊性也可以定義兩種：緊和列緊。為了討論方便，我只談列緊性。對於一個（列）緊集， ${x_n}subset X$ 必然有子列 $x_k o x^*$ 收斂到某個點 $x^*in X$ 。緊性的用處很大，下面我舉兩個例子：

第一，利用緊性得到某個極小值，然後這個極小值可以推出所要的數學結果。比如，它可以證明代數基本定理：

第二，偏微分方程上證明解存在性的一個思路是這樣的：為了解 $F(x)=0$ ,我們首先找出容易解的一列方程 $F_n(x)=0$ 使得 $F_n o F$ ,算出他們的解 ${x_n}$ ,然後證明它們在一個緊集合內，自然你可以找出一個極限 $x^*$ ,於是我們有 $F(x^*)=lim F_n(x_n)=0$ 。下面我舉一個例子。

第三，很多偏微分方程等價於某個拓撲空間上泛函的極小值問題：

$inf_{X} F(u)$

研究增這類泛函極小值的方法：變分法的direct method裡面第一條就是利用緊性來證明極小值的存在性。舉個例子：帶有第一類邊界條件的

$-Delta u=f$

弱解的存在性等價於

$f(u)=int_Omegafrac{1}{2}| abla u|^2-fu dx$ 在希爾伯特空間 $H^1_0(Omega)$ 上泛函極小值。level set $M_lambda:={f(u)leq lambda, }$

在某個弱拓撲下是列緊的，從而基於這個泛函的弱列下半連續性可以推導出極小值是存在的。

對於初學者緊性不是很直觀的東西，畢竟歷史上在對實數系的研究中它是後來才被發現佔據如此根本性的地位的。不過如果要在形式上理解是很容易的。

緊性在證明中常常被用來從空間每一點得到的某種開集類中，直接得到一個有限開覆蓋，比如有限交性質的證明。這類技巧多用幾次就知道緊性這個東西有多好了。

熟悉了之後很容易能夠粗略地談緊性到底是什麼，比如反映了局部性質可以反映在整體上之類的，不過這種描述一般只會給初學者帶來困惑，所以還是多看例子比較重要。

數學分析中講到：R中閉區間[a,b]上連續函數具有一些好的性質，比如有界、能取到最值、介值定理、連續等價於一致連續等。

那麼這些結論是怎麼推廣到泛函分析和拓撲學的呢？

1. 先推廣到n維歐氏空間R^n，(註：由於任何有限維n維空間都與R^n代數同構、拓撲同胚，也相當於推廣到有限維空間)

空間R^n上的連續函數(叫泛函)，也要具有那些好的性質，有界、最值可達、連續就一致連續等，需要把原來的閉區間[a,b]換成「有界+閉」集，就也可以保證。

2. 進一步推廣到無窮維Banach空間(完備賦范線性空間)，或更一般的距離空間

也想保證某類集合上的連續映射具有上述好的性質，這時候，因為空間的條件減弱了，對集合的要求只有「有界+閉"就不夠了，就得需要更強一點的條件，那就是列緊集(在距離空間與緊是等價的)

其實，列緊的定義就是任意無窮點列都有收斂子列，而這也是保證連續映射具有那些好的性質所需要的根本條件。為什麼有限維空間，"有界+閉"就能夠用，也是因為它已經能保證任意無窮點列都有收斂子列。

3. 進一步，列緊在拓撲空間不能這麼說的，因為拓撲空間里有的結構是拓撲結構，開集啊鄰域啊這些。好在，距離空間中自列緊(列緊+閉)，也有另一種等價描述：任意的開覆蓋都存在子覆蓋。這種描述才是緊集根本的，拓撲空間也適用，於是就推廣到拓撲空間中的緊集概念。

謝邀

我就先說一句吧

緊性是需要關於有限的或者有限才能得到的性質的首先應該想到的東西

直觀一點通俗一點的話，「一個長得稍微大了一點的點」。

搬一個stavckexchange上的回答。

假設在一個島上有兩種動物，F跟B。F是「red and short」一種是「blue and tall」。一直以來都只有這兩種動物，所以人們漸漸的用F表示red and short， B表示blue and tall，並且大家並不知道red blue tall short分開是什麼樣子。

有一天來了個新動物。你的朋友跟你說它有點像F有點像B，因為它red………但是又tall。然而你並不知道這兩個詞的具體意思……

大概要說的就是，有限（finiteness）其實就是上文說的F，它是discreteness跟compactness的一個縮寫一樣。compactness這一個單獨的詞把有限給分開了。

當然真正的理解還是，對於任何一個open covering，都有一個finite subcovering。比如（-1，1）的一個open covering: union of (-a, a), a=1-1/n, n inN 並不存在finite covering。metric space裡面這個等價於sequential compactness。